希尔伯特几何公理

希尔伯特几何公理佛山石门中学高二（2）邓乐涛一、符号及一些说明有三组不同的对象：点，直线，平面点用A,B,C,D……来表示；直线用a,b,c,d……来表示；平面用α,β,γ,δ……来表示。点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素那么点，几何元素之间又有一定的相互关系①点A在直线a上：𝐴∈𝑎②点A在平面α上：𝐴∈𝛼③直线a在平面α上：𝑎⊂𝛼（直线的每一点都在平面上）④点B在点A与点C之间：𝐵∈𝐴𝐶（我自己规定的符号）⑤线段AB与CD相等：𝐴𝐵=𝐶𝐷（原书是用≡号的，不过对于我们不常见，所以我用了=号）⑥∠𝐴𝑂𝐵与∠𝐶𝑂𝐷相等：∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷等等……（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理的时候再说）在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”。最简单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对(x,y)，定义线是{(𝑥,𝑦)|𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0}，其实在这个定义下，“几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。我这里的关系符号∈，⊂，=并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言，我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何）公理I关联公理本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：（为了方便论述，以后说二、三……点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或平面）I1：对于两点A和B，恒有一直线a，使得𝐴,𝐵∈𝑎（存在性）；I2：对于两点A和B，至多有一直线a，使得𝐴,𝐵∈𝑎（唯一性）；（对于1,2，我们可以说两点确定一直线）I3：一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上；I4：对于不在同一直线的三点A,B和C，恒有一平面α，使得𝐴,𝐵,𝐶∈𝛼；（存在性）对于任一平面𝛼，恒有一点A，使得𝐴∈𝛼；I5：对于不在同一直线的三点A,B和C，至多有一平面α，使得𝐴,𝐵,𝐶∈𝛼；（唯一性）（对于4,5，我们可以说三点确定一平面）I6：若𝐴,𝐵∈𝑎且𝐴,𝐵∈𝛼，则𝑎⊂𝛼；I7：若两平面α，β有一个公共点A，则他们至少还有一个公共点B；I8：至少有四点不在同一个平面上。以上。其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以放弃了。公理II顺序公理本组公理有四条，规定了“在……之间”这个关系。根据这个概念，直线上的，平面上的，空间上的点才有顺序可言。II1：对于点A,B,C，如果𝐵∈𝐴𝐶，则点A,B,C是直线上不同的三点；这时，𝐵∈𝐶𝐴也成立；（如图）II2:对于点𝐴,𝐵∈𝑎，恒有一点C∈𝑎，使得𝐵∈𝐴𝐶；（如上图）II3:一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间；根据上面，我们就可以定义线段了：对于直线a和直线上的两点A,B；我们把这一点对{A,B}称为线段，用AB或BA表示。在A和B之间的点叫做线段AB的点；A点和B点叫做线段AB的端点。II4:设A,B,C是不在同一个平面的三点：对于在平面ABC且不经过点A,B,C的直线a，若a交于线段AB的一点，则它必定交于线段AC或CB的一点（如图）以上。接下来定义射线先定义同侧：设A,A’,O,B是直线a上的四点，而O在A,B之间，但不在A,A’之间，则A和A’称为在a上点O的同侧，而A,B两点称为异侧。那么射线就定义为直线a上点O同侧的点的全体。比如与上图关于点O与B同侧的射线我们记为OB（虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）公理III合同公理本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。III1：对于线段AB和一点A’，恒有一点B’，使得线段AB与线段A’B’相等，记为AB=A′B′因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同：AB=A′B′，AB=B′A′，BA=A′B′，BA=B′A′III2：若AB=A′B′且AB=AB，则A′B′=AB；（根据1,2，我们才能得到线段AB与自己相等，才能得到AB=A′B′与A′B′=AB等价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等”。总而言之根据1,2我们才能得到线段相等的“反身性”，“对称性”，和“传递性”，这才说明这是一个等价关系。）III3：线段AB，BC在同一直线a上，且无公共点；线段A’B’，B’C’在同一直线a’上，且也无公共点。如果AB=A‘B′且BC=B′𝐶′,则AC=A‘C′这条公理还要求线段能够相加，可以定义AB+BC=AC（其中A,B,C共线）相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。我们先定义角的概念：对于不同一直线的三点O,A,B，射线OA，和射线OB的全体我们称为角，记为∠𝐴𝑂𝐵。O称为∠𝐴𝑂𝐵的顶点，射线OA，和射线OB称为∠𝐴𝑂𝐵的边。同样与A,B的次序无关。根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考虑的范围内。III4：对于∠𝐴𝑂𝐵，和一条射线O’A’，在射线O’A’所在的一个平面内，有且只有一条射线O’B，使得∠𝐴𝑂𝐵与∠𝐴′𝑂′𝐵′相等，记为∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴′𝑂′𝐵′。而且有∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐵。如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴′𝑂′𝐵′，∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵′𝑂′𝐴′,∠𝐵𝑂𝐴=∠𝐴′𝑂′𝐵′,∠𝐵𝑂𝐴=∠𝐵′𝑂′𝐴′然后先定义三角形：线段AB,BC,CA所构成的图形，记为△ABC。III5：若△ABC与△A′B′C′，有下列等式AB=A′B′,AC=A′C′,∠BAC=∠B′A′C′则有∠ABC=∠A′B′C′,∠ACB=∠A′C′B′.这条公理可以理解为三角形全等（SAS），事实上SAS这个公理的直接推论。公理IV平行公理这条公理显得很苍白，但在历史上很重要……先定义平行：对于同一平面上的两条直线线a和b，a与b无公共点，则称a与b平行，记为a∥b.IV（欧几里得平行公理）：设a是任意一条直线，A是a外的任意一点，在a和A所决定的平面上，至多有一条直线b，使得𝐴∈𝑏且a∥b。根据这个公理，我们可以得到平行线内错角，同位角相等；反之也成立。公理V连续公理V1（阿基米德原理）：对于线段AB,CD，则必定存在一个数n，使得沿着射线AB，自A作首尾相连的n个线段CD，必将越过B点。在这里必须说下数的阿基米德原理：任意给定两个数a,b(𝑎,𝑏≥0)，必存在正整数n，使nabV2（直线完备公理）：将直线截成两段a,b(不是直线)，对于任意的A∈a，B∈b，则总存在一个点C，C∈AB。也就是说，不再存在一点不在直线上，把这点添加到直线上之后，仍满足前面的公理I~IV的（书上的描述太笼统，我还是用我自己的话说了）要注意的是直线完备公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！二、公理的相容性这里所谓的相容性，就是这五组公理是互不矛盾的。也就是说，不能从这些公理推导到相矛盾的结果。但是，如果直接从公理出发证明相容性几乎是一件不可能的事情（而且如果一个公理体系含有皮亚诺算术公理的话，这还是一个不可能的事情，这是根据哥德尔不完全定理得到的），那么我们应该如何来证明呢？希尔伯特将方向转向了“数”。我们只说明平面几何（因为好说明），立体几何类似。。我们考虑的是实数域R。①点我们用实数对(𝑥,𝑦)来表示：𝑃∶=(𝑥,𝑦)；②直线我们用𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0来表示：𝑙∶={(𝑥,𝑦)|𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0}。两条直线𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0，𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0平行，当且仅当𝐴2𝐵1−𝐴2𝐵1=0③点𝑃在直线𝑙上：𝑃∈𝑙④点B(𝑥2,𝑦2)在点A(𝑥1,𝑦1)与点C(𝑥3,𝑦3)之间：(B∈AC)∶=(𝑥1𝑥2𝑥3)∨(𝑥3𝑥2𝑥1)∧(𝐴,𝐵,𝐶共线)；⑤对于点，线的平移，对称，旋转的变换，我们用一个变换来表达：{𝑥′=𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑢𝑦′=𝑐𝑥+𝑑𝑦+𝑣，其中𝑎𝑑−𝑏𝑐=1然后如果线段相等就是，两线段在以上的坐标变换中能重合，角亦然。（PS把线段和角也看做点的集合，定义懒得写了）那么用以上规定几何对象公理I（关联公理）显然都是成立的，只需要用到①②③规定。公理II（顺序公理）显然也都是成立的，再加上④规定。公理III（合同公理）也是成立的，加上规定⑤。需要一点点论述，就是点与直线在经过⑥的变换后仍然是我们所研究的几何对象（也就是说x’,y’都还是实数，其实就是要说明√𝑎2+𝑏2形的数还是实数，这是显然的）公理IV（平行公理）在直线的这种规定下是成立的。公理V（连续公理）根据实数的完备性，还有实数是阿基米德域这一性质可以直接得到。也就是说我们所做的规定都是满足“称为几何”的性质的，我们便可以将这些实数，实数对作为几何对象。那么这样，就把这五组公理的相容性就与算术的相容性联系在了一起了。那么只需要证明算术的相容性就可以了。关于算术的相容性，这里是对于实数理论，但是其相容性能在自身证明（这是个完备的公理系统）。但是按照希尔伯特的意愿一般来说指的是皮亚诺算术公理的相容性，不过根据哥德尔不完备定理，这是在算术公理内是无法自证的，只能根据另外一个跟更强的公理系统（比如说集合论ZFC公理）来证明，可是这“另外一个公理系统”的相容性，又不能用自身证明了==（根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性）。简短提一下的是，这个几何公理系统不仅是相容的，而且是完备的（就是这个公理的任一语句都能在这个公理系统内证明，即确定其真值）三、平行公理的独立性（非欧几何）我们知道了公理的相容性之后，其实还有一个有趣的问题是公理的独立性，虽然这并不影响论证（多些方便的公理还方便于论证呢），但是数学家们总喜欢简洁的东西……额不说了。什么是独立性？就是一个公理不能是其他公理的逻辑推论。如何证明这里某个公理独立性？一个办法就是剔除掉这个公理，然后根据其它公理构建一个新的模型，使得被剔除掉的公理不满足于这个模型。历史上最令人争议的就是平行公理了，也就是用欧几里得提出的公理来证明平行公设……当然都失败了。之后，人们就发现了非欧几何。什么是非欧几何学？其实就是满足以上除了平行公理的所有公理的几何模型。既然有了非欧几何，那么平行公里的独立性就不证自明了。现在主要是分成两种，一个是黎曼几何，一个是罗氏几何。然而黎曼几何我不清楚（手头的书也没有），所以我不提……对于罗氏几何，来代替原来平行公理的公理描述如下：如果b是任一直线，且A是不在b上，则过点A有不在同一直线的两条射线a1，a2，它们与b都不相交，而且在a1，a2所成角内的任一射线都与b都相交。那么a1，a2所在的直线称为与b平行然后非欧几何学最简单的一个特例就是球面几何，连高中选修都会讲到只需要定义“直线”为大圆便好……我就不深入了。四、合同公理的独立性相对平行公理来说，合同公理的独立性并没有在历史上并没有引起太大的争议。因为合同公理1~4并没有什么卵用，所以我们只需要说明公理III5(可以说是三角形全等的SAS)具有独立性就好。一般来说，我们定义线段相等就是长度相等，角相等就是角度相等，而我们所说的长度，比如对A(𝑥1,𝑦1),B(𝑥2,𝑦2)，AB的长度就为√(𝑥2−𝑥1)2+(𝑦2−𝑦1)2，这个可以在前面在规定坐标变换中得到。接下来我们便抛弃这个“长度”的设定（就是抛弃上面规定⑥中线段相等的定义）