灰色灾变理论在气候类金融衍生品价值评估中的应用探讨

1灰色灾变理论在气候类金融衍生品价值评估中的应用探讨王建辉郑文洋沃克森（北京）国际资产评估有限公司摘要：本文介绍了灰色灾变理论在气候类（具体指降雨类）金融衍生品价值评估中的应用，首先阐述了灰色系统理论的基本思路，该理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区范围内变化的灰色量，并把随机过程视为灰色过程；其次阐述了灰建模的三个条件——结构条件、材料条件及品质条件，并阐述了简单易用的级比建模条件；然后阐述了灰色灾变理论，并以举例的形式详细地展示了如何进行上灾变和下灾变预测，这对计算气候类金融衍生品的价值具有重要的意义；接着阐述了如何进行链列白化；最后总结了灰建模的特点、GM(1,1)白化型模型的意义并指出本文介绍的方法可以预测金融企业的经济周期，这对金融企业的价值评估也具有重要的意义。关键词：灰色灾变理论气候类金融衍生品应用一、引言在过去的三四十年中，全球金融领域和资本市场步入了交易品种不断创新的年代，层出不穷的金融衍生品为投资者提供了多元化的投资选择，同时也提供了十分丰富的风险管理工具。这些金融衍生品的出现突破了传统商业银行用8%的资本最多可以放大12倍的界限，资金杠杆的倍数可以达到几十倍，并且使交易更加灵活、便捷，在更大程度上满足了投资者、投机者及风险规避者的不同需要。金融衍生品合约中最常见的标的物是股票、股票指数、汇率、利率等，后来人们又开发了信用衍生品、能源衍生品、保险衍生品及气候类金融衍生品等。事实上许多公司的生产经营状况都受气候的影响，据美国能源部的估计，1/7的美国经济受到气候风险的影响，这类公司就存在着对冲气候风险的潜在需求，这样气候类金融衍生品就应运而生，1997年，美国首次推出了气候类金融衍生品的场外交易，此后气候类金融衍生品的种类逐步扩大。典型的场外交易气候类金融衍生品包括远期交易和期货合约，1999年9月，芝加哥商品交易所开始交易气候期货及欧式气候期货期权，这类合约通常都包含支付上限条款，类似于牛2市价差期权。合约的标的物为某指定气象台某月的累积HDD和CDD，合约以现金方式交割。其中：HDD=Max（0,65−A），CDD=(0,A−65)，为某个指定气象台报告的每天最高温度和最低温度的平均值。农业、旅游业及娱乐业等行业的公司都是气候类金融衍生品的潜在购买者11[加]JohnC.Hull著，王勇、索吾林译：《期货、期权及其他衍生品（第7版）》，北京：机械工业出版社，2009年1月版，p410-411.。一些期权（或期货）交易所和场外市场开始交易以降雨量、降雪量及类似变量为标的物的金融衍生品，目前这类金融衍生品尚处于发展的早期阶段，产品种类还比较少，我们坚信随着研究的深入和应用的发展将有更多的气候类金融衍生品问世。温度、降雨量、降雪量等气候类金融衍生品的标的物都存在着一个共同的特点，那就是它们都存在一个合理的范围，超出这个范围就是灾变（或称为不利事件）。灾变是指异常值的发生，例如，降雨量多是涝灾，降雨量少是旱灾，至于什么样的值是异常值，人们则往往根据有关理论、经验及具体情况予以确定，灾变预测的任务是预测下一个（或几个）异常值发生的时刻。计算以降雨量为标的物的气候类金融衍生品价值的关键问题之一是预测低于和高于合理范围的降雨量发生的时间，而降雨量是随机变量，具有不确定性，预测这类变量就需要运用不确定性理论。概率论与数理统计、模糊数学及灰色系统理论是目前最常用的三种研究不确定性系统的理论。概率论与数理统计研究随机不确定性现象，着重考察随机不确定性现象的历史统计规律，考察具有多种可能结果的随机现象的每一种可能结果发生的概率。由于受到数据量和概率分布的限制，其适用性受到一定的限制，它一般不适合预测灾变现象。模糊数学强调先验信息，依赖人的经验，主要研究“认知不确定问题”，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。灰色系统理论研究概率论与数理统计及模糊数学所难以解决的“小样本”、“贫信息”不确定性问题，灰色系统理论的最大特点是对样本量及概率分布没有严格的要求（样本量最小可以是4，可以是典型分布，也可以是非典型分布，并且可以是未知分布），这对预测带来极大的方便。正是由于灰色系统理论具有解决此类问题的独特优势，因此，本文引入灰色系统理论预测灾变发生的年份（也可以预测灾变发生的月份等）。二、灰色系统理论3（一）灰色系统理论的提出及解决问题的基本思路我国学者华中科技大学邓聚龙教授在20世纪70年代末80年代初提出了灰色系统理论，1982年，第一篇灰色系统理论的论文“TheControlProblemsofGreySystems”发表在北荷兰出版公司出版的国际杂志——《系统与控制通讯》（Systems&ControlLetters）；同年，邓教授在《华中工学院学报》发表了“灰色控制系统”的论文，这两篇开创性论文的公开发表，标志着灰色系统理论的正式诞生。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区范围内变化的灰色量，并把随机过程视为灰色过程。尽管客观事物表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，因此，必然蕴含着某种内在规律，关键在于如何选择适当的方式去挖掘和利用它。灰色系统是通过对原始数据的挖掘、整理来寻找其变化的规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，我们称为灰色时间序列生成。一切灰色时间序列都是通过某种灰生成或序列算子的作用弱化其随机性，显现其规律性，经过差分方程与微分方程之间的互换实现了利用离散的数据序列建立连续动态微分方程的目标2)1(X。（二）灰色系统理论的建模条件任何理论均是建立在一定的假设条件下，灰色系统理论也不例外，建立灰微分方程的条件包括：①结构条件：具有上信息浓度最大的灰导数；②材料条件：灰导数)()0(kx的白化背景值与灰导数成分满足平射；③品质条件：灰导数白化背景值位于单调增的背景集中3)0(X。上述三个条件称为灰建模三条件，只有符合灰建模三个条件的时间序列才可以建立灰色GM(1,1)预测模型，在时间序列给出后，逐项检验灰建模的三个条件是比较困难的一件事情。一种可行的办法是计算原始时间序列)0(X的齐次级比或非齐次级比，根据原始时间序列级比的大小判断建立GM(1,1)模型的可行性，这就是GM(1,1)模型建模可行性的级比判断。2刘思峰、党耀国、方志耕等著.灰色系统理论及其应用.北京：科学出版社，2004年11月第三版，p7，p26.3邓聚龙著.灰理论基础.武汉：华中科技大学出版社，2002年2月第一版,p222.4设))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxX=为原始时间序列级比)()1()()0()0()0(kxkxk−=σ，2≥k；若)()0(kσ满足)3891.7,1353.0()()0(∈kσ，3≥k；则时间序列)0(X可以建立非畸形的GM(1,1)预测模型。级比的可容区)3891.7,1353.0(是灰色GM(1,1)模型建模的基本条件，然而不是实用条件。建立理想有效的灰色GM(1,1)模型的级比条件是),()(1212)0(++−∈nneekσ（3≥k）4)()0(kσ。（三）灰色灾变理论若级比不满足)3891.7,1353.0()()0(∈kσ的条件，就说明原始时间序列是小惯性时间序列，一般来说不可以建立灰预测模型，但若跳变点不少于4个，可依据跳变点建立灰预测模型，以预测未来跳变点的时分布，这就是灰色灾变预测。严格地说，灰色灾变预测是指对于级比不是全部落于可容区的小惯性时间序列，对跳变点时分布建立灰预测模型以预测跳变点未来的时分布。灰色灾变预测又称异常值灰预测。设)0(X为原始时间序列),,,()0()0(3)0(2)0(1)0(nxxxxX=KKkXxk∪′∈⇒∈∀)0()0([])3891.7,1383.0(,⊂=βαK=∩′KKø上标0代表原始时间序列，ø代表空集，n代表时间序列的项数。若Kk∈，则称)0(kx为正常数据，k为正常点；4邓聚龙著.灰理论基础.武汉：华中科技大学出版社，2002年2月第一版,p251-252.5若Kk′∈，则称)0(kx为异常数据，k为异常点ξ；称存在K′的时间序列)0(X为含异常数据的时间序列，或称为异常时间序列。设ξ为正实数，若ξ≥)0(kx为异常值，称ξ为上灾变阈值；ξ≤)0(kx为异常值，称ξ为下灾变阈值；记时间序列)0(X中的异常值为)0(ξkx，相应的时间序列为)0(ξkX，则称)0(ξkX为灾变时间序列，其数值称为灾变值分布时间序列。进行映射得到相应灾变时分布时间序列),,,()0()0(2)0(1)0(ξξξξmtttt=，当且仅当时间序列)0(X与)0(ξt的时分布不存在顺序对应关系5ξ。三、下灾变（旱灾）预测由于水文系统没有明确的内外界限，系统本身与系统环境，系统内部与系统外部的边界若明若暗，难以分析输入对输出的影响，同一个水文变量，有的研究者视为内生变量，有的研究者视为外生变量，这是因为缺乏系统结构、系统模型及系统功能信息所致。它通过对原始数据的挖掘、整理以探究其发展变化规律，这是一种就数据寻找数据之间的现实规律的途径，我们称为灰序列生成。灰色系统理论所具有的应用性和操作性强的特点特别适合目前驱动水文变化的物理机制不完全明确情况下的水文预测。也正是由于这个原因，灰色系统理论在水文预测领域得到广泛应用并获得成功。我国某地区1989～2005年的平均年降雨量分别为332.5毫米、358.0毫米、286.6毫米、476.0毫米、324.5毫米、461.4毫米、472.3毫米、265.0毫米、549.3毫米、254.0毫米、416.8毫米、537.2毫米、345.7毫米、266.8毫米、409.8毫米、488.5毫米和271.3毫米，试进行下灾变预测（旱灾预测）。第一步，根据理论分析和经验分析确定下灾变值，得出下灾变时间序列；取=286.6毫米,则下灾变时间序列为：),,,,()0(17)0(14)0(10)0(8)0(3xxxxxX=ξ5邓聚龙著.灰理论基础.武汉：华中科技大学出版社，2002年2月第一版p370.6)3.271,8.266,0.254,0.265,6.286(=ξX第二步，根据映射关系，确定下灾变日期时间序列；根据映射得下灾变日期时间序列为：),,,,(),,,,()0(5)0(4)0(3)0(2)0(1)0(17)0(14)0(10)0(8)0(3)0(ξξξξξξttttttttttt==)17,14,10,8,3()0(=ξt第三步，计算确定一次累加时间序列和紧邻均值时间序列；根据∑==kikktt1)0()1(ξξ得：),,,,()1(5)1(4)1(3)1(2)1(1)1(ξξξξξξttttttk=)52,35,21,11,3(=例如，11=3+8，3+8+10=21，其余的数据依次类推。根据公式)1()1()1()1(5.05.0−+=iiittzξξ，5,,3,2=i。)1(ktξ的紧邻均值生成时间序列为：),,,()1(5)1(4)1(3)1(2)1(zzzzZ=)5.43,28,16,7()1(=Z例如，7=（3+11）/2，（11+21）/2=16，其余的数据依次类推。第四步，构造数据矩阵B和数据向量Y；−−−−=−−−−=15.43128116171)5(1)4(1)3(1)2()1()1()1()1(zzzzB，==1714108)5()4()3()2()0()0()0()0(xxxxY注意：只要1)()1(≠kz，5,3,2=k，则矩阵B是满序矩阵。第五步，进行矩阵运算，计算发展系数a和灰作用量b；−−−−=11115.4328167TBξξξtXM→:7−===−258452292.6253610485.0)(ˆ1YBBBbaaTT第六步，计算出灰GM(1,1)白化型模型的响应式；abeabxkxak+−=+−))1(()1(ˆ)0()1(67741935.2467741935.272536