带电粒子在等效重力场中的运动

1高中物理带电粒子在等效重力场中的运动一、考点突破：知识点考纲要求题型说明带电粒子在等效重力场中的运动1.掌握等效重力场的含义；2.会利用等效重力场解决复合场的综合问题。选择题、计算题本知识点属于高考重点和高频考点，重点考查利用等效的物理思想解决综合问题的方法，等效的思想是高考要求熟练掌握的一种化繁为简的基本方法。二、重难点提示：重点：利用等效重力场解决复合场的综合问题。难点：掌握等效重力场的含义。一、等效重力场为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间的关系。具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体做自由运动时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体做圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、处理方法知识的迁移本质1.等效思维方法：就是将一个复杂的物理问题等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。例如我们学习过的等效电阻、分力与合力、合运动与分运动等都体现了等效思维方法。常见的等效法有“分解”、“合成”、“等效类比”、“等效替换”、“等效变换”、“等效简化”等，从而化繁为简，化难为易。2.带电体在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动问题这类问题是高中物理教学中一类重要而典型的题型。对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。先2求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝mF合视为“等效重力加速度”。再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即可。例题1如图所示，ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，匀强电场与圆周在同一平面内。现在该平面内，将一带正电的粒子从a点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时粒子的动能最大。已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：（1）电场方向与ac间的夹角θ。（2）若粒子在a点时初速度方向与电场方向垂直，则粒子恰好能落在c点，那么初动能为多大？思路分析：（1）对这道例题不少同学感到无从下手，其实在重力场中有一个我们非常熟悉的事实：如下图所示，在竖直平面内，从圆周的a点以相同的动能抛出粒子，抛出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达圆周最低点d时粒子的动能最大，最低点是过圆心的竖直直径的一点，根据这一事实，我们将电场等效为重力场，那么粒子也应该是在“最低点”时速度最大，所以过圆心作一条过c点的直径，这就是电场的方向，如下图所示，所以θ=30°。（2）粒子做类平抛运动，由平抛运动知识可知xvtyatEQtm022122，，而xRyxcos/tan，，解得EmvREQk121802。答案：（1）θ=30°（2）18REQ3例题2如图所示，一条长为L的细线上端固定在O点，下端系一个质量为m的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，已知小球在B点时平衡，细线与竖直线的夹角为。求：当细线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？思路分析：对小球在B点时所受恒力进行分析（如图所示），将重力与电场力等效为一个恒力，将其称为等效重力可得：cosmggm，小球就做只受“重力”mg′与绳拉力作用的运动，可等效为单摆运动。如下图所示，根据单摆对称运动规律可得，B点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移处在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当细线与竖直线的夹角满足2，小球从这一位置由静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。答案：2【方法提炼】绳拉物体在竖直平面内的圆周运动绳拉物体在竖直平面内做圆周运动电场中带电粒子在竖直平面内做圆周运动临界状态最高点等效“最高点”临界状态公式2=vmgmr重力与电场力合力F合，F合=2vmr临界特点mg与绳的拉力在同一直线上，mg和Eq的合力与绳的拉力在同4且方向相同一直线上，且方向相同最低点物体速度最大，绳的拉力最大物体速度最大，绳的拉力最大“最低点”特点mg与绳的拉力在同一直线上，且方向相反mg和Eq的合力与绳的拉力在同一直线上，且方向相反满分训练：水平向右的匀强电场中，用长为R的轻质细线在O点悬挂一质量为m的带电小球，静止在A处，AO的连线与竖直方向夹角为37°，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度v0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度v0至少应为多大？思路分析：静止时对小球进行受力分析得F=mgtg37°=43mg，“等效”场力G’=22)(Fmg=45mg，与T反向“等效”场加速度g’=45g与重力场相类比可知：小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在AO连线上的B处，且最小的速度为vB=Rg'从B到A运用动能定理：G’2R=21mv02－21mvB245mg2R=21mv02－21m45gR则v0=25gR答案：25gR（答题时间：30分钟）1.如图所示，BD是竖直平面内圆上的一条竖直直径，AC是该圆的另一条直径，该圆处于匀强电场中，场强方向平行于圆周平面。将带等量负电荷的相同小球从O点以相同的动能射出，射出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达A点时小球的动能总是最小。忽略空气阻力，则下列说法中正确的是（）5A.可以断定电场方向由O点指向圆弧AEB上的某一点B.到达B点时小球的动能和电势能之和总是最小C.到达C点时小球的电势能和重力势能之和总是最小D.对到达圆上的所有小球中，机械能最小的小球应落在圆弧CFD上的某一点2.（多选）如图所示，在水平方向的匀强电场中的O点，用长为l的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，当小球位于B点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA方向）成θ角。现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C点，由静止将小球释放。若重力加速度为g，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是（）A.小球所受电场力的大小为mgtanθB.小球到B点的速度最大C.小球可能能够到达A点，且到达A点时的速度不为零D.小球运动到A点时所受绳的拉力最大3.用长为l的细线悬挂一质量为m，带电荷量为+Q的小球，将其置于水平方向向右且大小为E的匀强电场中，如下图所示。现将小球固定于悬点的正下方且OAl的位置A处，然后释放小球。已知电场力大于重力，求悬线受到的最大拉力。4.如图所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m的带电小球，将它置于一方向水平向右，场强为正的匀强电场中，已知当细线离开竖直位置偏角α时，小球处于平衡状态。6（1）若使细线的偏角由α增大到，然后将小球由静止释放。则应为多大，才能使细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？（2）若α角很小，那么（1）问中带电小球由静止释放到到达竖直位置需多长时间？5.在水平方向的匀强电场中，用长为3L的轻质绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，小球静止在A处，悬线与竖直方向成30°角，现将小球拉至B点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D时的速度大小。6.如图所示，带正电的小球用细绳悬挂在两块无限大的平行板电容器间。小球悬点为O，摆长为L，摆球质量为m，两板间距为d，两板间加电压为U。今向负极板方向将摆球拉到水平位置B然后无初速释放，小球在B、A间来回振动，OA为竖直线。求：（1）小球所带电量为多少？（2）小球最大速率为多少？（3）若要使小球能做完整的圆周运动，在B点至少需使小球具有多大的竖直向下的初速度？7.如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m，电荷量为+q的小球。整个装置处于水平向右、场强大小为qmg43的匀强电场中。（1）求小球在电场中受到的电场力大小F；（2）当小球处于图中A位置时，保持静止状态。若剪断细绳，求剪断瞬间小球的加速度大小a；（3）现把小球置于图中位置B处，使OB沿着水平方向，轻绳处于拉直状态。小球从7位置B无初速度释放。不计小球受到的空气阻力。求小球通过最低点时的速度大小v。81.BC解析：小球到A点动能最小，故电场力和重力的合力沿AO方向，故A错，根据能量守恒可知，动能、电势能、重力势能之和保持不变，故重力势能最大，则电势能和动能之和最小，B正确；同理可得C正确；机械能最小则电场力做负功最多，由于不确定电场力的方向，故机械能最小的位置不定，D错误。2.AB解析：根据小球在B点平衡可得A正确；根据等效B为最低点可得B正确，C、D错误。3.解：小球释放后受恒力mg、QE和变力FT的作用，在位置A、B之间做往复振动，电势能和重力势能、动能发生相互转化，则在点A、B之间必存在一个平衡位置（切向加速度为零），由运动的对称性可知，这个位置必然在点A、B中间，设为点C，与竖直方向的夹角为θ，则tan/QEmg，等效重力加速度ggQEmg'(/)/cos22。设点C为等效重力势能的零势能面，则221(1cos)/2CTCmglmvFmgmvl，，222(1cos)32cos3()()2TFmgmgmgmgmgQEmg4.解：带电小球在空间同时受到重力和电场力的作用，这两个力都是恒力，故不妨将两个力合成，并称合力为“等效重力”，“等效重力”的大小为：cos)()(22mgEqmg，令'cosmgmg这里的cos'gg可称为“等效重力加速度”，方向与竖直方向成α角，如图所示。这样一个“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场。（1）在“等效重力场”中，观察者认为从A点由静止开始摆至B点的速度为零。根据重力场中单摆摆动的特点，可知2。（2）若α角很小，则在“等效重力场”中，单摆的摆动周期为gLgLTcos2'2，从A→B的时间为单摆做简谐运动的半周期。即gLTtcos2。5.解：A处时对小球进行受力分析如下图：9mgTF且F=mgtg30°=33mg，“等效”场力G’=22)(Fmg=332mg，与T反向“等效”场加速度g’=332g从B到C小球在“等效”场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，s=3LvC=sg'2=2gL所以vCX=vCsin60°=gL3vCY在绳子拉力作用下，瞬时减小为零从C到D运用动能定理：WG+WF=21m2Dv－21m2CXvvD=gL)132(6.解：（1）由题意可知小球运动的等效最低点为AB弧的中点且电场力qE水平向左、重力mg竖直向下，合力的方向由O指向AB弧中点，即O点左向下45°则qE=mg，E=U/d得q=mgd/U（2）从上一问分析可知小球将在AB弧中点达到最大速度vm，电场力与重力的合力为2mg，由B静止开始运动到AB弧中点的过程，根据动能定理得212mmv=22(1)2mgL，则vm=(222)gL（3）小球做圆周运动的等效最高点为O点右向上45°，距离为L处在此处应具有的最小速度为2gL，设在B点时具有竖直向下的速度为vB，由动能定理得211222()222BmgLmvmgLL解得(322)BvgL7.解：（1）小球所受的电场力mgEqF43mgEqF43（2）根据平行四边形定则，小球受到的重力和电场力的合力mgEqF45)()mg22（合根据牛顿第二定律有maF合所以，小球的加速度ga45（3）根据动能定理有：0212mvEqlmgl10解得：22glv