带通与等效低通

带通与等效低通1.带通与等效低通在很多情况下，发送的信号是低频（基带）信号，但信道的可用频谱在高频段。所以，在发送机中。需要将基带信息调制到高频段来匹配信道。其实带通信号可以用等效低通来表示，简化带通信号的处理。1.1.带通信号的等效低通带通信号是一种实信号。其频谱位于远离零频的某频率±𝑓0附近。图1表示的是一个带通信号谱的例子。因为(t)x是实信号，所以其幅度谱是偶对称，相位是奇对称的。则有：(f)(f)X(f)XX（式1）图1实带通信号的谱定义(t)x的解析信号z(t)，则有：ˆz(t)(t)*(t)xjx（式2）其中ˆ(t)(t)1/txx表示(t)x的希尔伯特变换，则有：Z(f)2(f)(f)2(f)uXX（式3）其中(f)u表示单位阶跃函数，(f)X表示(t)x的谱。因此解析信号的谱Z(f)只有正频率部分，而且z(t)也表示带通信号。则等效低通(t)lx的谱(f)lX可以得到：00(f)(ff)2(ff)lXZX（式4）其等效低通的谱如图2所示：图2图1中信号的等效低通的谱则对应的时域信号为：0022ˆ(t)(t)e((t)j*(t))ejftjftlxzxx（式5）因此则有：02(t)Re(t)eiftlxx（式6）表明任何带通信号都可以用其等效低通来表示。1.2.带通系统的等效低通带通系统的信道冲激响应h(t)也为带通信号，其等效低通记为(t)lh，则有：02(t)Re(t)ejftlhh（式7）如果带通信号x(t)通过冲激响应为h(t)的带通系统，输出带通信号为y(t)，则输入与输出的谱的关系为：(f)X(f)H(f)Y（式8）由（式4）可得：000000000(f)2(ff)(ff)2(ff)(ff)(ff)1[2(ff)(ff)][2(ff)(ff)]21(f)H(f)2lllYYuXHuXuHuX（式9）因此，在时域则有：(t)x(t)h(t)llly（式10）因此，当带通信号通过带通系统时，等效低通输入与输出之间的关系与两个带通信号之间的关系只差了一个1/2的因子。因此两者是等价的。