常数项级数.

常数项级数概念:则称表达式为常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，给定数列,,,,321naaaa，＋＋＋＋＋＝即nnnaaaaa32111nna记作：)1(＋＋＋＋＋naaaa321称为级数的通项。na级数（1）的前n项之和Sn称为级数（1）的部分和部分和也构成一个数列{Sn}：(2),1321nkknnaaaaaS易见,0limnnR故n越大误差|SSn|越小.级数的收敛与发散定义:(1)若,limSSnn则称收敛,1nna(2)若nnSlim不存在或,则称级数发散.1nna(3)设则称为该级数的余项,Sann11nkknnaSSR记为并称S为该级数的和,Sann1性质1基本性质。则若为常数）其中则设,)3(()2()()1(,,1111~111~11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbabaRCCSaCCaSSbabaSbSa性质2删去或添加有限项不会改变级数的敛散性．性质3(收敛必要条件)注意：（1）如果级数的通项不趋于零,则级数发散;1)1(4332211nnn例如（2）是必要而非充分条件n131211例如调和级数因此级数发散.但级数发散..0lim,1nnnnaa则收敛若级数0limnna,0lim,1)1(1nnnnanna注:1)1(nn(1)发散数列不满足性质4，如1+(11)+…+(11)+…=1,而(1+1)+…+(1+1)+…=0.性质4仍然收敛设级数收敛,则不改变它的各项次序而任意添加括号后构成的新级数1nna1nnb且和不变.(2)收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.推论：如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.定理（Cauchy收敛原理）收敛0,NN+,当nN时,pN+,有1nnapnnkka1例１讨论下列级数的敛散性，如收敛，求出其和（1）等比级数(几何级数))0(120aaqaqaqaaqnnn1)122()3(nnnn)54)1(2((4)1nnnnnn;)!1()2(1nnn也收敛。证明收敛，级数已知111))(1(,0limnnnnnnnuuunnu则下列结论正确的是发散若,1nnu发散nnukD1).(发散10001).(nnuC发散)0001.0().(1nnuB收敛nnuA1).(1例2例31nna定义:若an0,(n=1,2,…,)则称为正项级数.正项级数1nna定理:正项级数收敛{Sn}有上界..是一个单调增加数列正项级数的部分和数列nS比较判别法.,)2(.,)1()2,1(,,111111也发散发散时也收敛收敛时则且为正项级数设nnnnnnnnnnnnnnbaabnbaba.),()2,1(为某一自然数其中可改为比较法中的条件注意NNnbanbannnn:比较判别法的极限形式lbabannnnnnnlim,,11且为正项级数设.,0)1(11同敛散与时则nnnnbal.,,)3(.,,0)2(1111也发散发散时时也收敛收敛时时nnnnnnnnablabl,11级数称为级数pnnp收敛。时发散时,1;,1pp重点比较对象：几何级数、p级数.比值判别法nnnnnaaa11lim,且为正项级数设.,1)2(.,1)1(11发散时收敛时则nnnnaa发散因而时程可见：由比值判别法的证明过条件且比值判别法不是充要比值判别法无效的情形没有下任何结论比值判别法对注1,0lim,1:2.,,1:1nnnnaa.,1)2(,,1)1(11发散时收敛时则nnnnaa根值判别法nnnnnaalim,1且为正项级数设发散因而时程可见：由根值判别法的证明过条件且比值判别法不是充要比值判别法无效的情形没有下任何结论根值判别法对注1,0lim,1:2.,,1:1nnnnaa积分判别法收敛。反常积分收敛则正项级数11)(dxxfann),,2,1()()2(0,),1[)1(nnfaffn且单减，上连续在设例4讨论下列级数的敛散性221(1)(ln)nn)cos1(1)5(1nnn22311(4)(2)nnn)0(!)7(1annannnnndxxx10411)3(2)11(31)8(1nnnnnnnn2)3(cos)2(21)1ln1()6(1nnnn211(9)sin(ln)pnnn交错级数及其判敛法即数就是指项正负交错的级所谓交错级数,,),2,1(0,)1(),2,1(,0,)1(111naanaannnnnnnn或)(判别法定理Leibniz满足条件若交错级数)0()1(11nnnnaa,0lim)2(),2,1()1(1nnnnanaa.,,)1(1111nnnnnarasa余项且其和收敛则与条件收敛常数项级数的绝对收敛.,,,,11111条件收敛绝对收敛nnnnnnnnnnaaaaa数则称级发散但绝对值级数收敛若级数则称级数收敛若绝对值级数定义：定理.,11收敛则级数绝对收敛若级数nnnnaa讨论变号级数的敛散性时，通常:若比值法或根值法判定级数不绝对收敛（这时级数的通项不趋于零），便可断言级数发散。对交错级数，可以用莱布尼茨判别法。先考查是否绝对收敛（用正项级数敛散性判别法），如果不是绝对收敛的，再看是否条件收敛。例5讨论下列级数的敛散性,若收敛讨论是条件收敛还是绝对收敛。)sin()3(1nnn))1(1ln()6(1nnnnnnn211ln)1()4(nnnn21)1()1(11!2)1()5(211nnnn121(2)(1)lnnnn?11,)1(,11是否收敛试问级数发散且级数单调减少设正数列nnnnnnnuuu例6敛。是绝对收敛还是条件收，试问交错级数设级数收敛12121||)1(nnnnnnuu例7绝对收敛。证明：级数连续导数，且的某一邻域内具有二阶在设)1(.0)(lim0)(00nxnfxxfxxf例8例911)1(}{nnnnxxx收敛。试证级数单调上升且有上界，若正项数列则且发散若0lim,0lim,,11nnnnnnnnbaba1lim).(nnnbaC.)().(1一定发散nnnbaA.).(1一定收敛nnnbaB.)1().(1一定收敛nbnnnenaD下列级数收敛的是21()..lnnAnn.1).(1nnBn.)1()1().(1nnnnCln21()..(ln)nnDn1.,)]2ln()1ln([lnnbanbnan收敛，求若级数收敛。证明：级数为常数设11),,2,1,0(1)1(,0nnnnnanrraana