常州大学数值分析10-11试卷及参考答案

1常州大学2010~2011学年第2学期硕士生考试试题评分标准1.（10分）当0x时,试比较1cosx与2sin1cosxx在理论上与在数值计算上的差异？并叙述常见的防止误差的一些原则。解：当0x时，两个表达式在理论上恒等，但其数值计算结果不同，前者会出现相近数相减，失去有效数位，降低计算结果精度的问题；后者避免了相近数相减的问题，尽可能地保证了计算结果的精度。防止误差的几个基本原则主要有：1）防止大数“吃”小数；2）避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；3）避免相近数相减；4）避免使用不稳定的算法；5)注意简化计算步骤，减少运算次数；2.（15分）叙述Newton插值法的方法思想，并根据列表函数x-1012()fx2-112利用Newton插值方法求()fx的插值逼近多项式3()Nx。解：Newton插值法的方法思想：对于给定节点(,),0,1,2,,iixyin，Newton插值方法通过构造如下形式的插值多项式010201011()()()()()()()nnnNxaaxxaxxxxaxxxxxx保证当新增加节点11(,)nnxy时，新的插值多项式1()nNx满足1101()()()()()nnnnNxNxaxxxxxx，其中系数01[,,,]inafxxx为由01,,,ixxx确定的i阶差商，仅与01,,,ixxx有关。这样就可以新增节点后的新的插值多项式能够在已有的插值多项式的基础上用较少的工作量得到。Newton差商表：D=2.0000-1.0000-3.00001.00002.00002.50002.00001.0000-0.5000-1.00003()^32.5^20.51Nxxxx3.（15分）写出变步长的梯形积分公式，并用复化辛普森（Simpson）公式nS计算1cos02xdx，其中2n。解：复化梯形求积公式2,nnTT之间的关系如下：21121(),22nnniihTTfx（3-1）其中1[()()]2baTfafb。（3-1）式为变步长的梯形积分公式。在变步长的梯形积分公式的基础上有241;33nnnSTT；应用上述公式计算上述积分可得结果如下：1T1.72711S=1.800622T1.78222S1.80014T1.7956由此可得2S1.80014.（10分）设2100231004510044A,13816b，试用LU分解法解线性方程组Axb。解：1211141,1141113LU解Axb可以转化为解LUxb，先解Lyb，再解Uxy可得所求解。具体如下：解Lyb可得12106'y；解Uxy可得1122'x。5.（15分）对下述线性方程组1231231232594330xxxxxxxxx给出一个收敛的Gauss-seidel迭代格式，并用此收敛的Gauss-seidel迭代格式求此方程组的一个误差不超过110的近似解。解：改写上述方程组可得1231231233043259xxxxxxxxx新方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，相应的Gauss-seidel迭代为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312()/3(3)/4(92)/5kkkkkkkkkxxxxxxxxx从初始近似解(0)(0,0,0)'x出发，可得满足精度要求的近似解为(3)(1.0208,-1.0010,1.9962)'x；迭代次数为3。精确解为*(1,-1,2)'x。6.（15分）写出Newton迭代方法求非线性方程()0fx根的方法思想；并选用适当的方法求方程20xxe在00.5x附近的一个根，要求误差不超过310。解：求非线性方程()0fx根的Newton方法的方法思想：Newton法是一种迭代法,在已知方程()0fx的第k次近似解kx时,Newton法是利用曲线()yfx在kx处的切线来近似曲线()yfx,把切线与x轴的交点1kx作为()yfx与x轴的交点*x的第1k次近似,由此得到方程()0fx根的第1k次近似。即有1()'()kkkkfxxxfx算法优点：对于方程的单根，方法具有二阶收敛速度；缺点：局部收敛性。由Newton法解方程20xxe在00.5x附近的一个根可得迭代结果如下：1x-0.4239，2x-0.4263，3其中2x-0.4263满足精度要求。7.(10分)写出解常微分方程初值问题的四阶Runge－Kutta方法，并用四阶Runge－Kutta方法解方程22',11.3(1)1yxyxy所确定的函数()yx在1.3x处的近似值，取0.3h。解：四阶龙格-库塔（Runge－Kutta）方法如下:112341213243(22)6(,)(/2,/2)(/2,/2)(,)kkkkkkkkkkhyyKKKKKfxyKfxhyhKKfxhyhKKfxhyhK其中利用Runge-kutta方法可得函数()yx在1.3x的近似值为：y1=2.0347，其中k1=2.0000k2=3.0125k3=3.4304k4=5.8074y1=2.0347。8.（10分）已知列表函数x12345()fx0.220.270.290.300.31若用函数()xqxabx拟合上述列表函数，试用最小二乘法确定参数,ab的大小。解：令11()1/(),pxqxabatbtxx其中。将上述列表函数作相应的变换有1/tx11/21/31/41/51/()Yfx1/0.221/0.271/0.291/0.301/0.31…………5分用函数()pxatb拟合上述列表函数可得正规方程组如下：2(,)()()(,)()(1)iiiiiiiiiiiiabtatbtYaabtabYb，从而有1.46362.28339.02522.2833518.2566abab，解得a1.6348，b2.9048。…………5分