常微分方程与差分方程解法归纳

1常微分方程解法归纳1.一阶微分方程部分①可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(yxfdxdy中的二元函数),(yxf可表示为)()(),(yhxgyxf的形式，我们称)()(yhxgdxdy为可分离变量的方程。对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dxxgyhdy)()(的形式，再对此式两边积分得到Cdxxgyhdy)()(从而解出)()(yhxgdxdy的解，其中C为任意常数。具体例子可参考书本P10—P11的例题。②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(yxfdxdy中的二元函数),(yxf可表示为yxPxQyxf)()(),(的形式，我们称由此形成的微分方程)()(xQyxPdxdy为一阶线性微分方程，特别地，当0)(xQ时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(yxPdxdy，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到dxxPCey)(，其中C为任意常数。这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(xC来替换C，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如dxxPexCy)()(的解。将其代入)()(xQyxPdxdy我们就可得到)()()()()()()()()(xQexCxPexCxPexCdxxPdxxPdxxP这其实也就是dxxPexQxC)()()(，再对其两边积分得CdxexQxCdxxP)()()(，于是将其回代入dxxPexCy)()(即得一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy的通解CdxexQeydxxPdxxP)()()(。具体例子可参照书本P16—P17的例题。2③一阶齐次型微分方程（变量代换）如果一阶微分方程),(yxfdxdy中的二元函数),(yxf满足对于一切非零实数t都有等式),(),(yxftytxf成立，我们称一阶微分方程),(yxfdxdy为一阶齐次型微分方程。对于此类微分方程的解法，我们一般利用变量代换的方法将其化为一阶可分离变量的方程然后再相应求解。事实上，如果我们令xt1于是)(),1(),(xyxyfyxf。于是一阶齐次型微分方程),(yxfdxdy可表示为)(xydxdy然后令xyu将其化为一阶可分离变量微分方程。具体过程如下：令dxduxudxdyxuyxyu,，则，代入方程)(xydxdy可得)(udxduxu也就是xuudxdu)(，它的通解是易求得的，求出它的通解之后将xyu回代就可得到一阶齐次型微分方程),(yxfdxdy的通解。当然，有时候我们令yt1于是)()1,(),(xyxyfyxf。于是一阶齐次型微分方程),(yxfdxdy可表示为)(yxdxdy也就是）yxdydx(1此时令dydvyvdydxyxv，则，代入方程）yxdydx(1可得)(1vdydvyv然后再依次求解。有时候后者的代换方法会更简洁，当然两者的解法本质上是没有区别的，具体求解时可以灵活地运用。具体例子可参看书本P20—P22的例题。④伯努利方程（变量代换）如果一阶微分方程),(yxfdxdy中的二元函数),(yxf满足等式)1,0(,)()(),(nyxPyxQyxfn，我们就称由此形成的微分方程)1,0(,)()(nyxQyxPdxdyn为伯努利方程。对于此类方程的求解，我们可以通过变量替换将其转化为一阶线性微分方程求解。我们可以在方程)1,0(,)()(nyxQyxPdxdyn两边同除以ny，可以将方程变形为)()(1xQyxPdxdyynn即)()()(1111xQyxPdxydnnn。我们令nyz1，于是方3程即)()1()()1(xQnzxPndxdz利用一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy的通解CdxexQeydxxPdxxP)()()(可得)()1()()1(xQnzxPndxdz的通解，再将nyz1回代就得到了伯努利方程)1,0(,)()(nyxQyxPdxdyn的通解。具体例子可参照书本P22—P23的例题。⑤变量代换方法的应用----其他类型的齐次微分方程形如ybxabyaxfdxdy11的方程也是齐次方程。对于这种类型的方程通过简单的代换就可以化为一阶齐次型微分方程来进行求解。我们讨论更一般的情形，对于形如111cybxacbyaxfdxdy的齐次方程，我们令yx,，其中,为待定常数，可得11111cbabacbabafdxdy，可以选取适当的,使得00111cbacba当011baab时，,有唯一解，可以化上面的方程为齐次方程11babafdd，求解此方程，并将yx,代回就得到齐次方程111cybxacbyaxfdxdy的解。当011baab时要分两种情况讨论。情况一：若01b，则kbbaa11。原方程可以化为11111)(cybxacybxakfdxdy。令,11ybxaz则)(111xazby得到变量可分离的方程1111czckxfadxdzb，然后按照相应的解法即可求解。情况二：若01b，则ba与1中至少有一个为0.当0b时，原方程为11cxacaxfdxdy是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。当0b时，可以令adxdzbdxdybyaxz1,，原方程就变为了adxdzb111cxaczf这是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。具体例子可参看书本P24—P25的例题。42.可降阶的高阶微分方程部分（主要讨论二阶微分方程）①形如)()(xfyn的微分方程对于形如)()(xfyn的微分方程，我们可以连续对等式两边积分n次便可以求得其含有n个任意常数的通解为nnnnCnxCnxCdxxfy...)!2()!1()(2211个积分符号。具体例子可参看书本P28例题。②形如),(yxfy的微分方程一般二阶微分方程可以表示为),,(yyxgy，当因变量y不显含时形成了如),(yxfy的不显含因变量y的二阶微分方程。我们可以通过变量代换来进行降阶。我们令dxdpyyp,，于是方程可化为),(pxfdxdp，这是一个以p为未知函数，以x为自变量的一阶微分方程，我们可以容易求得。设其通解为),(1Cxp，则),(1Cxdxdy。两边积分就得到原方程的通解为21),(CdxCxy。其中21,CC为任意常数。具体可参看书本P28—P30例题（注意例4！！）③形如),(yyfy的微分方程与不显含因变量y的二阶微分方程的定义类似，我们把形如),(yyfy的微分方程称为不含自变量x的二阶微分方程。我们仍然通过变量代换来求解此类方程。我们令dydppdxdydydpdxdpyyp,，于是方程可化为),(pyfdydpp，这是一个关于yp,的一阶微分方程，我们可以容易求得。设其通解为),(1Cyp，则由dxdyyp可得dxCydy),(1，两边积分就得到原方程的通解为21),(CxCydy。其中21,CC为任意常数。具体例子可参看书本P32—P34例题。注：在可降阶的微分方程求解问题中，在消去所设的变元如p时我们一定要注意是否会丢失0p的解。53.线性微分方程在介绍线性微分方程的解法之前有必要先介绍线性微分方程解的结构与性质。我们直接介绍n阶线性微分方程)()()(...)(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn的解的结构与性质。对于区间],[ba上的n个函数)(......)()()(321xyxyxyxyn、、、、，若存在n个不全为0的常数nkkkk、、、、......321使得在],[ba上有0)(1niiixyk，我们就称这n个函数在区间],[ba上是线性相关的，否则就是线性无关的。此外对于n阶线性微分方程)()()(...)(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn的系数)()(...)()(121xaxaxaxann、、、都为常数是我们称该方程为n阶线性常系数方程，否则为n阶线性变系数方程。进一步细分，对于自由项)(xf，若0)(xf就称原方程为n阶线性齐次方程，否则为n阶线性非齐次方程。若函数)(......)()()(321xyxyxyxyn、、、、是n阶线性齐次方程的n个线性无关的特解，则)(...)()(2211xyCxyCxyCynn为n阶线性齐次方程的通解。若函数)(......)()()(321xyxyxyxyn、、、、是n阶线性非齐次方程的n个线性无关的特解，此外函数)(xyp是n阶线性非齐次方程的1个线性无关的特解，则)(...)()()(2211xyCxyCxyCxyynnp为n阶线性齐次方程的通解。①二阶常系数齐次线性微分方程我们把形如ypyqy0的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数我们知道如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是它的通解现在先尝试能否适当选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解接下来介绍一般的解法，我们把方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根r1、r2可用公式2422,1qppr求出6特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时函数xrey11、xrey22是方程的两个线性无关的解这是因为函数xrey11、xrey22是方程的解又xrrxrxreeeyy)(212121不是常数因此方程的通解为xrxreCeCy2121(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时函数xrey11、xrxey12是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为xrey11是方程的解又xrxrxrxrxrxrqxeexrpexrrxeqxepxe111111)1()2()()()(12110)()2(121111qprrxeprexrxr所以xrxey12也是方程的解且xexeyyxrxr1112不是常数因此方程的通解为xrxrxrexCCxeCeCy111)(2121(3)特征方程有一对共轭复根r1,2i时函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解而由欧拉公式得y1e(i)xex(cosxisinx)y2e(i)xex(cosxisinx)y1y22excosx)(21cos21yyxexy1y22iexsinx)(21sin21yyixex故e