常微分方程数值解法

常微分方程数值解法【作用】微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1.根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。2.找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。3.运用这些规律列出方程和定解条件。基本模型1.发射卫星为什么用三级火箭2.人口模型3.战争模型4.放射性废料的处理通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。1.改进Euler法：2.龙格—库塔（Runge—Kutta）方法：【源程序】1.改进Euler法：function[x,y]=eulerpro(fun,x0,x1,y0,n);%fun为函数，(x0，x1)为x区间，y0为初始值，n为子区间个数ifnargin5,n=50;endh=(x1-x0)/n;x(1)=x0;y(1)=y0;fori=1:nx(i+1)=x(i)+h;y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1);y(i+1)=(y1+y2)/2;end调用command窗口f=inline('-2*y+2*x^2+2*x')[x,y]=eulerpro(f,0,0.5,1,10)求解函数y'=−2y+2x2+2x，(0≤x≤0.5)，y(0)=12.龙格—库塔（Runge—Kutta）方法：[t,y]=solver('F',tspan，y0)这里solver为ode45，ode23，ode113，输入参数F是用M文件定义的微分方程y'=f(x,y)右端的函数。tspan=[t0,tfinal]是求解区间，y0是初值。注：ode45和ode23变步长的，采用Runge-Kutta算法。ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长（变步长）的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(Δx)^5。解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。ode45是解决数值解问题的首选方法，若长时间没结果，应该就是刚性的，可换用ode23试试例如：odefun=@(t,y)(y+3*t)/t^2;%定义函数tspan=[14];%求解区间y0=-2;%初值[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0);plot(t,y)%作图title('t^2y''=y+3t,y(1)=-2,1t4')legend('t^2y''=y+3t')xlabel('t')ylabel('y')%精确解dsolve('t^2*Dy=y+3*t','y(1)=-2')ans=(3*Ei(1,-1/t)+(-3*exp(-1)*Ei(1,-1)-2)/exp(-1))*exp(-1/t)求解高阶常微分方程需要求解的高阶常微分方程：求解的关键是将高阶转为一阶,odefun的书写.F(y,y',y''...y(n-1),t)=0用变量替换,y1=y,y2=y'...注意odefun方程定义为行向量程序:functionTestode45tspan=[3.94.0];%求解区间y0=[28];%初值[t,x]=ode45(@odefun,tspan,y0);plot(t,x(:,1),'-o',t,x(:,2),'-*')legend('y1','y2')title('y''''=-t*y+e^t*y''+3sin2t')xlabel('t')ylabel('y')endfunctiony=odefun(t,x)y=zeros(2,1);%列向量y(1)=x(2);y(2)=-t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t);end【原理】改进Euler法：式称为由Euler公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进Euler法。为了编程方便，将式子改写成龙格—库塔（Runge—Kutta）方法：在区间[Xn,Xn+1]内多取几个点，将它们的斜率加权平均作为K，就有可能构造出精度更高的计算公式。这就是龙格—库塔方法的基本思想。