常微分方程的应用.

第六章第八节机动目录上页下页返回结束常微分方程的应用1、找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:(1)根据物理规律列方程；解微分方程应用题的方法和步骤机动目录上页下页返回结束(2)利用微元法列方程；比例关系牛顿第二定律确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还要衔接条件4、分析解所包含的实际意义2、利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.3、求通解,并根据定解条件确定特解.例1：衰变问题镭的衰变规律如下:镭的衰变速度与当时的质量m成正比。已知00mmt，经过1600年后，质量变为20m。求衰变过程中镭的质量)(tm随时间t变化的规律.并求100年后镭的质量是多少？设t时刻，镭的质量为)(tmm。则解：mdtdm，其中0是比例系数机动目录上页下页返回结束,0dtdm右端取符号是因为得初值问题00mmmdtdmt，,1dtdmm00mmt代入,lnlnCtm,tCem即0mC得temm0201600mmt又代入上式解得16002ln机动目录上页下页返回结束,16002ln0temm即100年后镭的质量衰减到原来的95.76%则100年后镭的质量为：0100.16002ln09576.0memm例2：物体冷却问题一个物体在冷却过程中，其温度变化速度与其本身的温度和环境的温度之差成正比。现有一个C0100的物体，放在C020的房间里，经过20分钟后，物体的温度已降为C060，问还需经过多长时间，物体的温度才能降为C030？机动目录上页下页返回结束令：t表示时间，)(tTT表示物体的温度，则解：)20(TkdtdT，其中0k是比例系数，而右端取符号是因为020,0TdtdT当30T时，60t，即经过60分钟后，物体的温度降为C030，即再经过60-20=40分钟后，物体的温度降为C030。机动目录上页下页返回结束100)0()20(TTkdtdT得初值问题：，分离变量：kdtTdT2020ktCeT解得：100)0(T由,80C60)20(T又,202lnkteT)2ln201(8020所以oyx可得OMA=OAM=例3：探照灯反射镜面设计解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角xycotxyy22yxOMTMAPy取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OMOPAP要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO机动目录上页下页返回结束在制造探照灯反射镜面时，利用曲线的对称性,不妨设y0,,yxv令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy得)2(22CxCy(抛物线)221)(vvCy于是方程化为(齐次方程)机动目录上页下页返回结束于是得微分方程:xyy22yx顶到底的距离为h,hdC82说明:)2(22CxCy则将这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得)0,(2CoyxA机动目录上页下页返回结束222416ddyxhh则此时例4：混合问题一容器内盛有100升盐水，共含盐10千克，今用每分钟3升的匀速把净水注入容器，并以每分钟2升的匀速让盐水流出，求1小时后容器内溶液的含盐量。解:设)(tmm，t表示时间，m表示溶液的含盐量。机动目录上页下页返回结束用微元法建立m关于t的变化率dtdm的方程。（1）分析、简化利用微元法求解(2)列方程溶液含盐量的变化的时间间隔内到,dttt)()(tmdttmdm溶液量为时刻,tttQtQ23)(0t100)100(0Q溶液的浓度为时刻,tttmtQtm100)()()(流出的液体量为内在时间间隔,dtdt2流出的盐量为内在时间间隔,dtdtttm2100)(机动目录上页下页返回结束（3）解方程得25)100(10)(ttmm于是得初值问题1010020tmtmdtdm（4）讨论60t时，91.3m（千克）机动目录上页下页返回结束盐的改变量=流入的盐量–流出的盐量,10020dttmdm即解：例5：2CO某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每分钟2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?2CO%1.02CO2CO%03.0设鼓风机开动后时刻的含量为2CO)%(txt],[dttt在内,2CO的通入量2CO的排出量,200003.0dt,2000)(dttx机动目录上页下页返回结束2CO的通入量2CO的排出量2CO的改变量03.0200012000dtdx),(2000txdt),03.0(61xdtdx,03.061tCex,1.0|0tx,07.0C,07.003.061tex,056.007.003.0|16ext6分钟后,车间内的百分比降低到%.056.02CO机动目录上页下页返回结束例6：有一盛满水的漏斗，高为10厘米。顶角为600,漏斗下有一横截面积为0.5平方厘米的小孔。问：水全部流完需要多长时间？oh10030hdhhr水解由力学知识得,水从孔口流出的速度为0.622,vgh设在微小的时间间隔],,[dttt水面的高度由h降至,dhh,2dhrdV则漏斗内水的体积的改变量为机动目录上页下页返回结束330tan0hhr,32dhhdV则又在时间间隔],,[dttt从小孔流出的水的体积为1()0.5(0.622)VSvdtghdt20.50.622,3hdhghdt解得Cht25314.0,10|0th2510314.0C0h时520.3141010t秒机动目录上页下页返回结束例7：追线问题设位于坐标点的甲舰向位于点)0,1(A处的乙舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准乙舰.设乙舰以速度0v沿平行于y轴的直线行驶,已知鱼雷速度是05v,求鱼雷航行的曲线方程,并问乙舰航行多远时,将被鱼雷击中?机动目录上页下页返回结束),(yxPxyo)0,1(A),1(0tvQ)(xyy解：设鱼雷的运动轨迹为)(xyy并设经过时间t鱼雷位于点P(x,y)，乙舰位于点Q(1,v0t)),(yxPxyo)0,1(A),1(0tvQ)(xyyxytvy10)2(51002tvdxyx则即)1()1(0tvyyx由题意由(1),(2)消去v0t得yyxdxyx)1(15102机动目录上页下页返回结束上式两边求导并整理得)3(151)1(2yyx并有初始条件0)0(,0)0(yy(3)式是不显含y的，令机动目录上页下页返回结束)(xPy(3)式化为dxxdPP)1(51112初始条件为0)0(P解得)4()1(1512xyy(4)式左端分子有理化得)3(151)1(2yyx0)0(,0)0(yy)5()1(1512xyy(4)式+(5)式得11551(1)(1)2yxx初始条件为,0)0(y解得245)1(125)1(855654xxy2451yx，时当即乙舰航行到点时，被鱼雷击中。)245,1(机动目录上页下页返回结束例8：物体的抛射运动一质量为m的物体，自高0h处以水平速度0v射出，设空气阻力与速度成正比，求物体的运动方程)()(tyytxxxyomgxfyf0v0h解：垂直方向上的力重力：mg阻力：dtdykkvfyy是比例系数其中0k机动目录上页下页返回结束水平方向上的力阻力：dtdxkkvfxx利用牛顿第二定律得两个初值问题0)0(,)0(022yhymgdtdykdtydm022)0(,0)0(vxxdtdxkdtxdm解得)1()()1()(2200tmktmkekgmtkmghtyyekmvtxx机动目录上页下页返回结束例9：人造卫星发射问题解:欲向宇宙发射一颗人造卫星，为使其摆脱地球引力，初始速度应不小于第二宇宙速度，试计算此速度。设人造地球卫星质量为m,地球质量为M,卫星的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:222ddhmMGthm000dd,vthRhtt②0,v为(G为引力系数)则有初值问题:222ddhMGth又设卫星的初速度，已知地球半径51063R机动目录上页下页返回结束③hoR),(ddhvth设,dddd22hvvth则代入原方程②,得2ddhMGhvvhhMGvvdd2两边积分得ChMGv221利用初始条件③,得RMGvC2021因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到机动目录上页下页返回结束为使上式成立，应满足0vRMGv20因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,)sm81.9(22ggmRmMG即,2gRMG故④代入④即得81.910632250gRv)s(m102.113这说明第二宇宙速度为skm2.11机动目录上页下页返回结束利用牛顿第二定律求解方程的一些问题另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间.解：建立坐标系如图.设在时刻t,链条较长一段xox下垂xm,又设链条线密度为常数,此时链条受力Fgxgx)20(gx)10(2由牛顿第二定律,得22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx机动目录上页下页返回结束例10：一链条挂在一钉子上，启动时一端离钉子8m，由初始条件得故定解问题的解为解得),1(舍去另一根左端当x=20m时,(s)微分方程通解:思考:若摩擦力为链条1m长的重量,定解问题的数学模型是什么?机动目录上页下页返回结束摩擦力为链条1m长的重量时的数学模型为xox不考虑摩擦力时的数学模型为g122dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此时链条滑下来所需时间为：机动目录上页下页返回结束yoy从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v之间的函数关系设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力作用，设仪器质量为m，体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k0),试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).(98考研)建立坐标系如图.质量m体积B由牛顿第二定律B22ddtymvk重力浮力阻力mg机动目录上页下页返回结束例11：解:设时刻t，仪器下沉了y(t)BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始条件为00yv用分离变量法解上述初值问题得yoy质量m体积B得机动目录上页下页返回结束B22ddtymvkmgtyyvddddyvvdd注意:例12：某飞机在机场降落时，为减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来。现有一质量为m=9000kg的飞机，着陆时的水平速度为v0=700km/h。经测试，减速伞打开后，飞机所