常微分方程的解法及应用(常见解法及举实例)

华北水利水电大学常微分方程的解法及应用（常见解法及举实例）课程名称：高等数学（2）专业班级：成员组成：联系方式：2012年05月25日摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结：先对常微分方程定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程，并且用具体的实例分析常微分方程的应用。关键词：微分方程降阶法变量代换法齐次型一阶线性英文题目：Thesolutionofordinarydifferentialequationsanditsapplication（Commonsolutionandexamples）Abstract:Ordinarydifferentialequationisanimportantpartofcalculus,widelyusedinspecificproblemsinthestudy.Solvingdifferentialproblem,oftenthroughthevariableseparation,bothsidesintegral,ifishighlevel,throughtheappropriatevariablesubstitution,achievethepurposeofthereducedordertosolvetheproblem.Thisarticleistodifferenttypesofordinarydifferentialequationofthesolutionsystemconclusion:firstdefinitionofordinarydifferentialequationandthegeneralsolutiondosimplepaper,thenapplyvariablesubstitutionmethodofhomogeneoussolutionofdifferentialequation,andthereducedordermethodforhighorderordinarydifferentialequation,discussionspecialsecondorderdifferentialequations,anduseaspecificexampleanalysisoftheapplicationofordinarydifferentialequations.Keywords:Differentialequations、Reduced-ordermethod、Variablesubstitutionmethod、Homogeneous、Firstorderlinear1、引言微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问题中，往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系，而是根据具体的问题和所给的条件，建立一个含有未知函数或微分的关系式。这样的关系式，我们称其为微分方程。再通过积分等方法，从微分方程中确定出所求的未知函数，即求解微分方程。这就是本文要讨论的问题。2、研究问题及成果2.1一阶微分方程2.1.1变量可分离的微分方程形如()()dyfxydx的方程，称为变量分离方程，()fx，()y分别是x，y的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y，我们可将(1)改写成()()dyfxdxy，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyfxdxcy，c为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)yyxc就是常微分方程的解．例1：求解2dyxydx的通解。解：12dyxdxy→12dyxdxy→21lnyxc→通解：221xcxyece2.1.2齐次型微分方程（变量代换的思想）一阶微分方程可以化成dyyfdxx的形式。求解：dyyfdxxyuxyux，dyduxudxdxduxufudx11dudxfuux（可分离变量）通解例2：解方程22dydyyxxydxdx22dydyyxxydxdx2ydyydyxdxxdx2duduuxuuxudxdx1duxuudx111dudxux111dudxux1lnlnuuxc122ln,lnyuxyuxucuxceyuxyceycx2.1.3一阶线性微分方程若0dypxydx，称为一阶齐次线性微分方程。若dypxyqxdx（0qx），称为一阶非齐次线性微分方程。一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。解0dypxydx的通解如下：可分离变量的一阶微分方程110lndypxydypxdxypxdxcdxy2pxdxycepxdxyce（齐次方程通解）采用积分因子法求dypxyqxdx的一个特解如下pxdxpxdxpxdxpxdxdydypxyqxepxyqxeeyqxedxdxpxdxpxdxeyqxedxcpxdxpxdxyeqxedxcdypxyqxdx（0qx）的通解为：pxdxpxdxpxdxyceeqxedx2.1.4伯努利方程形如：ndypxyqxydx当0n时，dypxyqxdx一阶线性微分方程（公式法）当1n时，dypxyqxydxdyqxpxydx可分离变量微分方程求通解过程：1nnndydypxyqxyypxyqxdxdx1111nnynpxynqx作变量代换1nzy111ndznpxynqxdx（积分因子公式法）2.2一阶微分方程的应用举例例1细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h后总数是多少?分析：例2。。某人的食量是2500cal／天，其中1200cal用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000cal。求出这人的体重是怎样随时间变化的。(0)100(24)400dykydtyyktyCeln4ln2100,2412Ckln42412()1001002ttyte(12)200y分析：输入率=2500cal／天输出率=健身训练16cal/kg/天×体重w(kg)+新陈代谢1200cal／天2.3高阶微分方程的降阶法二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程，求高阶微分方程通解的方法成为降阶法2.3.1y(n)=f(x)型：解法：次。连续积分n)()()1()(xfyynn1)1()(Cdxxfyn21)2())((CdxCdxxfynnCdxdxCdxCdxxfy))))((((212.3.2y=f(x,y')型解法：。，降阶为：因变量换元),(pxfpyp),;(1Cxp若得解),;(1Cxy则2121);(),;(CdxCxCCxy则2.3.3y=f(y,y')型解法：：做因变量及自变量换元,dxdyp新因变量,y新自变量)(dxdydxdy则dxdydydp013001610000(0)dwwdtww1625032532544twwe3254w,dydpp原方程降阶为),(pyfdydpp若得其解为),;(1Cyp则),;(1Cydxdy原方程通解为.);(21CxCydy2.4二阶线性微分方程解的结构形如：22dydypxqxyfxdxdx若0fx时，220dydypxqxydxdx（方程一）称为：二阶线性齐次微分方程。若0fx时，22dydypxqxyfxdxdx（方程二）称为：二阶非齐次微分方程2.4.1二阶线性齐次微分方程解的结构定理1:如果函数)(1xy与)(2xy是方程(5.2)的两个解,则)()(2211xyCxyCy也是（方程一)的解，其中21,CC是任意常数.定理2:如果)(1xy与)(2xy是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则)()(2211xyCxyCy就是（方程一）的通解，其中21,CC是任意常数例3：0yy解：22121220010,cossindyyyyjycxcxdx可验证：1cosyx和2sinyx是0yy的两个解21sintancosyxxyx，线性无关2.4.2二阶线性非齐次微分方程解的结构定理3设y是方程(5.1)的一个特解，而Y是其对应的齐次方程(5.2)的通解，则yYy就是二阶非齐次线性微分方程（方程二）的通解.2.5二阶常系数线性微分方程2.5.1二阶常系数线性齐次微分方程的解法当,pxqx均为常数，即0ypyqy或220dydypqydxdx其中p,q均为常数。求解：200ypyqypq三种情况：1）两个不等实根：12,1212xxycece2）两个相等实根：1212xyccxe3）一对共轭复根：1212,cossinxjjyecxcx2.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法xmexpxf)()(若方程（1）中xmexpxf)()(，其中)(xpm是x的m次多项式，则方程（1）的一特解*y具有如下形式xmkexQxy)(*其中)(xQm是系数待定的x的m次多项式，k由下列情形决定：（1）当是方程（1）对应的齐次方程的特征方程的单根时，取1k；（2）当是方程（1）对应的齐次方程的特征方程的重根时，取2k；（3）当不是方程（1）对应的齐次方程的特征根时，取0k．（2）xxpexfmxcos)()(或xxpexfmxsin)()(定理3若方程（1）中的xxpexfmxcos)()(或xxpexfmxsin)()(（)(xpm是x的m次多项式），则方程（1）的一个特解*y具有如下形式xmmkexxBxxAxysin)(cos)(*．其中)(xAm、)(xBm为系数待定的x的m次多项式，k由下列情形决定：（1）当i是对应齐次方程特征根时，取1k；（2）当i不是对应齐次方程特征根时，取0k．2.6二阶微分方程的应用举例例1求微分方程244exyyyx的通解．解所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且)(xf呈()exmPx型（其中2,)(xxPm）．与所给方程对应的齐次方程为440yyy，它的特征方程2440rr有一对重根122rr．于是与所给方程对应的齐次方程的通解为212()exYCCx．由于2是特征方程的重根，所以应设y为2201()exyxbxb．把它代入所给方程，得0162bxbx．比较等式两端同次幂的系数，得0161,20.bb解得011,06bb．因此求得一个特解为321e6