常微分第二章第2,3节(蓝底)

1线性微分方程与常数变易法机动目录上页下页返回结束第二节一、一阶线性微分方程第二章二、伯努利(Bernoulli)方程2机动目录上页下页返回结束()()()0dyaxbxycxdx()0ax第二章的区间上方程可以写成在d()()dyPxyQxx一、一阶线性微分方程3一阶线性微分方程标准形式:d()()dyPxyQxx若d()dyPxyx若称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得ln()dlnyPxxC故通解为()dPxxyCe称为齐次方程;机动目录上页下页返回结束()0,Qx()0,Qx4对应齐次方程通解()dPxxyCe齐次方程通解非齐次方程特解()dPxxCe2.解非齐次方程d()()dyPxyQxx常数变易法:()d()(),Pxxyxcxe则()d()Pxxcxe()Px()d()Pxxcxe()Qx故原方程的通解()d()d()dPxxPxxeQxex()d()d()dPxxPxxyeQxexCy即即令()d()()PxxPxcxe()d()()dPxxcxQxexC两端积分得机动目录上页下页返回结束5()d()d()dPxxPxxyeQxexC注：常数变易法也是一种变量变换的方法。()d()()Pxxyxcxed()()dyPxyQxx6例1.解方程解:先解d,d1ynyxx即dd1ynxyx积分得即(1)nyCx用常数变易法求特解.令()(1),nycxx则1()(1)()(1)nnycxxncxx代入非齐次方程得()xcxeC所以原方程通解为机动目录上页下页返回结束7例2.解方程解:将方程改写为2d22,dxxyxyyyy2xCy令2(),xcyy代入方程（1）得解得()ln||cyyC所以原方程通解为机动目录上页下页返回结束与（1）对应的齐次方程的通解为（1）另外，y=0也为解。8二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:1d()()dnnyyPxyQxx令,1nyzxyynxzndd)1(dd则d(1)()(1)()dznPxznQxx求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利目录上页下页返回结束9二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:1d()()dnnyyPxyQxx令,1nyzxyynxzndd)1(dd则d(1)()(1)()dznPxznQxx除方程两边,得解法:(线性方程)伯努利目录上页下页返回结束另外，当0n时，方程还有解0y。10例3.求方程的通解.解:令,1yz方程变形为2ddzdyyxdx其通解为ez将1yz6dxxxe6dxxCxd28661188CxxCxx代入,得原方程通解:机动目录上页下页返回结束则xzxdxdz6此外方程还有解y=0.11内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式()d()d()dPxxPxxyeQxexC,1nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程机动目录上页下页返回结束12思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示:xxyyydd1可分离变量方程xyxyxylndd齐次方程2d1d22yxyxx线性方程2d1d22xyxyy线性方程2d2lndyxyyxxx伯努利方程机动目录上页下页返回结束13备用题1.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf机动目录上页下页返回结束142.设有微分方程,)(xfyy其中)(xf10,2x1,0x试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题10,2xyy00xy利用通解公式,得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00xy得21C故有)10(22xeyx机动目录上页下页返回结束152)再解定解问题1,0xyy1122)1(eyyx此齐次线性方程的通解为)1(2xeCyx利用衔接条件得)1(22eC因此有)1()1(2xeeyx3)原问题的解为y10),1(2xex1,)1(2xeex机动目录上页下页返回结束16恰当方程与积分因子机动目录上页下页返回结束第三节一、恰当方程二、积分因子法第二章17恰当方程的求解方法:由du=0知通解为u(x,y)=C.一、恰当方程uududxdyxy=(,)uMxyx(,).uNxyy使若存在),(yxud(,)(,)d(,)duxyMxyxNxyy则称(,)d(,)d0MxyxNxyy为恰当方程(又叫做全微分方程).①u(x,y)---Mdx+Ndy的原函数机动目录上页下页返回结束22,MuuNuuyyxyxxxyxy18判别:M,N在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为恰当方程则恰当方程的求解方法:由du=0知通解为u(x,y)=C.一、恰当方程使若存在),(yxud(,)(,)d(,)duxyMxyxNxyy则称(,)d(,)d0MxyxNxyy为恰当方程(又叫做全微分方程).①u(x,y)---Mdx+Ndy的原函数机动目录上页下页返回结束19I不定积分法()uududxdyxy(,)(,)duMxydxNxydy=(,)uMxyx(,).uNxyy求原函数u(x,y)的方法uMx由，()uMdxy得()=NuMdxyyy选取)(y使得由此确定),(y再积分求出(),y则()uMdxy20uNy()=MuNdylxxx()uNdylx{21例1求2223(36)(64)0xxydxxyydy的通解。解222336,64MxxyNxyy12,12MNxyxyyx，所以方程是恰当方程。设u满足ux2236xxy=及uy=2364xyy+()y由（1）得（3）（1）（2）uy2()6dyxydy=2364xyy=于是4()yy所以32243uxxyy由(2),(3)得3223uxxy22因此，方程的通解为32243xxyyc这里c是任意常数。23II“分项组合”法（凑微分法）232234660xdxydyxydxxydy即342222330dxdyydxxdy或3422(3)0dxyxy于是方程的通解为34223xyxyc这里c是任意常数。解2223(36)(64)0xxydxxyydy例2用“分项组合”的办法，求解例1。把方程重新“分项组合”，得到目的24221()2xdxydydxy2222()xdxydydxyxyln()xdyydxdxyxy2()xdyydxydxx[ln||]xdyydxydxyx122[tan()]xdyydxydxyx()xdyydxdxy()dxdydxy2()ydxxdyxdyy221(ln||)2ydxxdyxydxyxy25例3求解方程2232(sin)()0xxdxdyyyy解所以方程是恰当的。把方程重新“分项组合”，231sin2()0xxdxdydxdyyyy即22()cos3ln||0ydxxdydxdyy或2(cos3ln||)0xdxyy于是，方程的通解为2cos3ln||xxycy这里c是任意常数。得2M2yyN,x因为27III线积分法),(),(00),(yxyxNdyMdxyxu(,)d(,)d0MxyxNxyy00(,)(,)xyxyMdxNdy与路线无关28),(yxyxo补例.求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解:因为My236yyx,Nx所以这是全微分方程.,0,000yx取则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0,(x机动目录上页下页返回结束29思考:如何解方程这不是一个恰当方程,21,y就化为恰当方程.但若在方程两边同乘以30二、积分因子法,0),(yx使为恰当方程,(,)xy则称为方程（4）的积分因子.若存在连续可微函数例2目录上页下页返回结束（4）函数(,)xy为的积分因子的充要条件是(5)()()MNyx()NMMNyxxy31即这时方程(5)变成I如果存在只与x有关的积分因子则0y，求积分因子的方法()xdMNNdxyx()NMMNyxxyMNdyxdxN32由此可知，的必要条件是仅为的函数。MNyxNx反之易证，若(),MNyxxN则为方程Mdx+Ndy=0的一个()xdxeMdx+Ndy=0有只与x有关的积分因子积分因子。33()MNyxxN为Mdx+Ndy=0的积分因子.()xdxeMdx+Ndy=0有只与x有关的积分因子仅为x的函数.此时，34类似地，方程Mdx+Ndy=0有只与积分因子的充要条件是有关的仅为的函数。yy此时，Mdx+Ndy=0的一个积分因子。()MNyxyM()ydye为方程35例4试用积分因子法解线性方程()()dyPxyQxdx解[()()]0PxyQxdxdy这时，()(),1MPxyQxN由于()MNyxPxN因而，线性方程有只与x有关的积分因子()Pxdxe。以()Pxdxe乘以(6)得（6）把方程改写为()()()()()0PxdxPxdxPxdxPxeydxedyQxedx36即()()()()0PxdxPxdxPxdxydeedyQxedx或()()()()0PxdxPxdxdyeQxedx因此，所求方程的通解为()()()PxdxPxdxyeQxedxc或()()(())PxdxPxdxyeQxedxc()()()()()0PxdxPxdxPxdxPxeydxedyQxedx37)(ddd)1yxyx)(ddd)2xyyxyx)(ddd)3yyxx)(2221yx)(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyxxyyxln)(ddd)722yxyxxyyxarctan)(ddd)822yxyyxx22yx积分因子不一定唯一.0ddyxxy例如,对可取机动目录上页下页返回结束观察法常用微分倒推公式:38例5:求解21()(0).dyxxydxyy这一方程不是恰当的.重新组合，得解:将方程改写为22()0.xxydxydy22()0.xdxydyxydx