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挑战高考压轴题之圆锥曲线与方程（选自2010，2011，2012，2013，2014全国各地高考压轴题）简单：★，中等：★★，难：★★★-1-一、圆锥曲线中的定值问题★★椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝32，a＋b＝3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值．★★如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）经过点P（1，32），离心率e＝12，直线l的方程为x＝4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．★★椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1＋1kk2为定值，并求出这个定值．★★★如图，已知双曲线C：x2a2－y2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；挑战高考压轴题之圆锥曲线与方程（选自2010，2011，2012，2013，2014全国各地高考压轴题）简单：★，中等：★★，难：★★★-2-（Ⅱ）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：x0xa2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝32相交于点N．证明：当点P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值．二、圆锥曲线中的最值问题★★在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为32，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为4105．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．★★★如图，O为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2＝32，且|F2F4|＝3－1．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．挑战高考压轴题之圆锥曲线与方程（选自2010，2011，2012，2013，2014全国各地高考压轴题）简单：★，中等：★★，难：★★★-3-★★★如图，点P（0，－1）是椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．★★★在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为34．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M的横坐标为2，直线l：y＝kx＋14与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当12≤k≤2时，|AB|2＋|DE|2的最小值．三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题★★设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上．（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（Ⅱ）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．xOyBl1l2PDA挑战高考压轴题之圆锥曲线与方程（选自2010，2011，2012，2013，2014全国各地高考压轴题）简单：★，中等：★★，难：★★★-4-四、圆锥曲线与求参数★★在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为64的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设OP→＝tOE→，求实数t的值．★★★已知三点O（0，0），A（－2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|MA→＋MB→|＝OM→·(OA→+OB→)＋2．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）动点Q（x0，y0）（－2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．五、存在性问题★★如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F1、F2．点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2．①证明：1k1－3k2＝2；②问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．★★★如图，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为32，x轴被曲线C2：y挑战高考压轴题之圆锥曲线与方程（选自2010，2011，2012，2013，2014全国各地高考压轴题）简单：★，中等：★★，难：★★★-5-＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得S1S2＝1732？请说明理由．六、轨迹方程★★已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（43，13）．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且2|AQ|2＝1|AM|2＋1|AN|2，求点Q的轨迹方程．★★如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0＝1－2时，切线MA的斜率为－12．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．BOMAxy