常数项级数的基本概念和性质

无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数傅氏级数常数项级数的基本概念和性质二、收敛级数的性质一、常数项级数的概念第十一章第一节引例1一、常数项级数的概念.31化为小数数且,3.033.0311033.0210310303.03.033.032103103103003.003.03.0333.0无限循环小数概念之中无穷级数的思想蕴涵在1.引例表示成无穷多项之和将31求极限nn103103103333.02个一般地，33.031于是n1031031032相当于求引例2,)1()1(lim2aaaann.12naaa无穷多项的和用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正),2,1,0(23nn边形,这个和逼近于圆的面积：设a0表示ak表示边数则圆内接正边形面积为n23引例3内接正三角形面积,增加时增加的面积,一般项：级数的和2.定义给定数列,,,,,321nuuuu无穷级数:nu部分和：无穷级数收敛：记作级数的余项：无穷级数发散：级数收敛时，例1(几何级数)1)若,1qqqaan1时，当1q知qaSnn1lim故级数收敛,;1qa,1时当q知,limnnS则部分和故级数发散.其和为证明等比级数当时收敛,1q当时发散.1q证2)若,1q,1时当q级数发散;,1时当qnSn为奇数n为偶数结论：1q时收敛,1q时发散.则级数为,a,0不存在,等比级数0nnqa等比级数因此级数发散.拆项相消1ln1nnn解12lnnS)1ln2(ln)1ln(n）n(所以级数发散.23ln34lnnn1ln例2判别级数的敛散性.部分和)2ln3(lnnnln)1ln(证明调和级数证(方法1)nSn131211)0()1ln(xxx由nnn13121111)11ln(nS)1ln(n)1ln(limnnnnSlim发散11nn)11ln(n)211ln(01xx0)0()(fxf)]'1ln([xxf例3发散.nun11d1nnxn时，有当1nxnnx1d11nnnxxnunnxnnln)1ln(ln1nSn131211]ln)1[ln()2ln3(ln)1ln2(lnnn)()1ln(nnxy12nn+1nnSlim.11发散nnun(方法2)xyo(方法3)用反证法假设：.11nnSn收敛，其部分和为SSSSnnnn2limlim，则0)(lim2SSSSnnn于是但另一方面，)21111211(2nnnSSnn)1211(n)21111211(2nnnSSnn)1211(nnnn212111nnn212121项n，故0)(lim2nnnSS矛盾！.11发散nn(方法4)见后面.二、收敛级数的性质性质1若1nnuS1nnuc收敛,证令,1nkknuS则nkknucσ1,nScnnσlimSc1nnuc收敛,其和为cS.推论1其和为cS.收敛，则故敛散性相同.nncSσ,0c若11nnnncuu与则性质2设收敛级数,1nnuS1nnvσ，则)(1nnnvu也收敛,其和为.σS注)(1nnnvu的敛散性规律：收收为收，收发为发，发发不一定发.例如,,)1(2nnu取,)1(12nnv1º收敛级数可逐项相加(减).与1nnu1nnv均发散，.)(1收敛但nnnvu2º性质3级数前面加上不影响级数的敛散性.证1nnu去掉前k项,的部分nllknu1knkSS数敛散性相同.收敛时,其和.kSSσ故新旧级新级数同敛散，有限项不影响级数的敛散性（去掉、或修改）有限项,和为性质4收敛级数加括弧后原级数的和.证设1nnuS收敛，任意加括弧,所成的级数仍收敛于)()()(1111211kknnnnnuuuuuu),2,1(11kuuvkknnk令项部分和：则其前kkkvvv21knSkkvvv21knS存在收敛nnnnSulim1)(limRSSSnn设的子数列是}{}{}{nnkSSkSSSnnnkkkklimlimlim.S，且其和为即加括号后的级数收敛推论2若加括弧后的级数发散,)11()11(但例如，则原级数必发散.用反证法注加括号后的级数收敛？去掉括号后的级数收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0收敛发散例3判断nnn13121111的敛散性.加括号级数)16110191(1nnv)211()4131()81716151(解(方法4))221221211(111nnnn,212111v,21414141312v1),21161161161914vnnnv212111823项…nn212121项n21)21211(1nn1nnv)211()4131()8151(nnSlim)(,221211nnvvSnn发散，从而加括号级数1nnv.11发散故nn4281513v818181421例4判断级数的敛散性31212121112nn121解加括号级数为)3121()2121()11(2)121(nn1)(nnnvu1nnu由于收敛，121nn1nnv而发散，11nn故加括号级数发散,从而原级数发散.性质5（级数收敛的必要条件）设收敛，则证1nnnSSunnulim故.0SS1limlimnnnnSS注0limnnu非级数收敛的充分条件.例如,调和级数发散，故所给级数发散.,0nu则级数必发散.推论3若544332212）（例5(1)11nnn,011limlimnnnnnu解(1)故原级数发散.111nnn）（小结:收敛0nu发散例6判断敛散性,若收敛求其和:解令则nnuu1),2,1(1neuuunn11故级数发散.11)1(!)1(nnnnennnne!.!1nnnnnennnSSS2121则1432212252321nn2121221132121n1212nnnn21225232132.2121nnn例7判断级数的敛散性：解2121221132121n1212nn21211211211n1212nn121121n原级数收敛,其和为3.,3limnnS故23内容小结1.无穷级数概念：级数收敛、发散，部分和，余项2.两个常见级数的敛散性：(1)等比级数.11,1111时当发散，时；当收敛，和为qqqqnn(2)调和级数.11发散nn3.级数性质：(1)敛散性相同）；（0c11nnnncuu与(2)收敛级数可以逐项相加，(3)级数加不影响其敛散性.（去或改）有限项,(4)收敛级数加括弧后仍收敛于原级数的和.(5)级数收敛的必要条件:一般项的极限为零)1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数收敛,其和为1.31214131111nn“拆项相消”求和解备用题例2-1例2-2判断敛散性,若收敛求其和:解.231123nnnnnnn23123),2,1(n)2)(1(1nnnnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1)1(121拆项相消,41原级数收敛,其和为)2)(1(121121nn.41例3-1判别级数2211lnnn的敛散性.解nnnln2)1ln()1ln(2ln)1ln(1n故原级数收敛,其和为例4-1判断级数的敛散性121121解加括号级数发散,故原级数发散.一般项131131141141