稳态误差的计算

第三章线性系统的时域分析法项目内容教学目的理解稳态及稳态误差的概念，掌握其计算方法和计算结果，进而熟悉减小或消除稳态误差的措施。教学重点稳态误差系数定义和典型输入信号作用下的稳态误差，即表3－5；减小或消除稳态误差的措施。教学难点广义（动态）误差的概念和广义（动态）误差系数的计算方法，各种补偿措施。讲授技巧及注意事项表达式推导、图形显示和表格总结相辅相成。3-6线性系统的稳态误差分析3-6控制系统的稳态误差系统响应的稳态分量(例如tts的输出分量）反映了系统跟踪给定控制信号或希望输出信号的准确度或抑制扰动信号的恢复能力。通常用稳态误差来衡量。它与系统本身的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本书只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差，即原理性误差。给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差）扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）给定输入量变化时，要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。给定输入量不变时，需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。一、稳态误差的定义和基本概念系统的误差e(t)的基本定义为输出量的希望值与实际值之差。典型系统结构如图所示，其误差定义有两种形式：（1）输出端定义法：式中：为系统输出量的希望值；C(t)为输出量的实际值。（2）输入端定义法：式中：r(t)为给定输入；b(t)为系统主反馈信号。H（s）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的），故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。)()()(tCtCter’)(tCr)()()(tbtrteR(s)-B(s)E(s)N(s)+C(s)图典型反馈系统结构图1/H(s)-E’(s)e(t))()()('sHsEsE误差的定义0510152025303500.20.40.60.811.21.41.61.82System:untitled1SettlingTime(sec):7.54System:untitled2FinalValue:1StepResponseTime(sec)AmplitudeR(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)step(feedback(tf(50*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35)()1rrtCttC(t)=b(t)H(s)=1注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念1ett()Ct()btCtlim()lim[()()]11sstteetrtbt单位反馈情况：12501.671GGGss从图形和公式中体会误差和稳态误差一0510152025303500.20.40.60.81System:untitled1FinalValue:0.5System:untitled1SettlingTime(sec):7.37StepResponseTime(sec)AmplitudeR(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)step(feedback(tf(50*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),2),0:.01:35)C(t)r(t)=1(t)H(s)=2retCt()Ct非单位反馈情况：lim()lim[()()]0.50.5ssrtteetCtCt12501.671GGGss从图形和公式中体会误差和稳态误差稳态误差的定义：对于稳定的系统，误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以表示。sselim()lim[()()]sstteetrtbt基本公式注意：两种误差定义的统一性其关键在于反馈传递函数H(s)的确定性、可靠性、准确性。稳态误差的定义一二、给定输入作用下系统的误差分析这时，不考虑扰动的影响。可以写出随动系统的误差：)(sE)(sRH2G1G-)(11)(11)(21sRGsRHGGsEk)(1)(lim)(lim)(lim00sGssRssEteeksstss显然，与输入和开环传递函数有关。sse给定输入时的稳态误差假设开环传递函数的形式如下：)(sGk)()12()1()12()1()(01211212121sGsKsTsTsTssssKsGnllllnjjmkkkkmiik)()12()1()12()1()(01211212121sGsKsTsTsTssssKsGnllllnjjmkkkkmiik式中：开环放大系数；开环传递函数积分环节的个数；开环传递函数去掉积分和比例环节；K)(0sGnnnmmmG212102,2,1)0(vvsvskssssKsRssGsKssRsGssRe)(lim)(1)(lim)(1)(lim10000给定输入时的稳态误差)643(lim)]([lim010SKsRSessss输入信号开环增益有关系统型别与)(sRKess式中：称为位置误差系数；)(lim0sGKkspKeKsKGKsssp11,)(lim000，时当0,)(lim100ssspesGsKK，时当单位阶跃函数输入时的稳态误差当输入为时（单位阶跃函数）ssR1)(psksksssKsGsKsGsGssRe11)(lim11)(lim11)(1)(lim0000的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。越大，越小。所以说反映了系统跟踪阶跃输入的能力。pKpKssepK如果要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统。习惯上，阶跃输入作用下的稳态误差称为静差0510152025303500.20.40.60.811.21.41.61.8System:untitled2FinalValue:1System:untitled1FinalValue:0.909System:untitled2SettlingTime(sec):6.81System:untitled1SettlingTime(sec):2.86System:untitled4FinalValue:0.5System:untitled4SettlingTime(sec):2.49StepResponseTime(sec)AmplitudeR(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s))(1sG)(2sG)(sHstep(feedback(tf(10*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35)step(feedback(tf(10*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35)step(feedback(tf(1*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35)从图形中体会误差和稳态误差12101.671GGGss121011.671GGGss12111.671GGGss当输入为时（单位斜坡函数）21)(ssRvsksksssKsGsKsGssGssRe1)(lim1)(lim1)(1)(lim01000式中：称为速度误差系数；)(lim0sGsKksvsssvessKGK,0)(lim000，时当KeKsKGKsssv1,)(lim100，时当0,)(lim200sssvesGsKK，时当单位斜坡函数输入时的稳态误差0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入Ⅰ型系统稳态时能跟踪斜坡输入，但存在一个稳态位置误差Ⅱ型及Ⅱ型以上系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差结论：0246810121416182002468101214161820LinearSimulationResultsTime(sec)Amplitude输入K=5K=1K=0.3阶跃响应阶跃响应：零稳态误差斜坡响应：稳态误差为常数指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*[0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),u,t)101.671ddKTsGTss()rrtCttlim()lim[()()](1/)sstteetrtbtttK当输入为时（单位加速度函数）31)(ssRasksksssKsGsKsGssGssRe1)(lim1)(lim1)(1)(lim020200式中：称为加速度误差系数；)(lim20sGsKksasssaesKGsK,0)(lim1,00)2,1(0，时当KeKsKGKsssa1,)(lim200，时当0,)(lim300sssaesGsKK，时当单位加速度函数输入时的稳态误差反映了系统跟踪抛物线输入的能力。aK0型与Ⅰ型系统稳态时不能跟踪加速度输入Ⅱ型系统稳态时能跟踪加速度输入，但存在一个稳态位置误差Ⅱ型以上系统，稳态时能准确跟踪加速度输入信号，不存在位置误差051015020406080100120LinearSimulationResultsTime(sec)Amplitudet=0:.01:100;u=1/2*t.^2;lsim(feedback(tf(0.14*conv([8,1],[4,1]),conv([1,0],conv([1,0],[6,1]))),1),u,t)K=0.14,0.04,0.0094误差2814161KssGssK＝0.0094K＝0.04K＝0.14r(t)取不同的νr(t)=R·1(t)ess=1+ksνRlim→0sr(t)=V·tess=s·Vlim→0sksνr(t)=At2/2ess=s2·Alim→0sksνⅠ型0型Ⅱ型R·1(t)R1+kVkV·t000∞Ak∞∞At2/2R·1(t)V·tAt2/2kkk000∞∞∞静态误差系数稳态误差小结：123Kp=?Kv=?Ka=?啥时能用表格？误差为无穷时系统还稳定吗？例3-11单位反馈控制系统的开环传递函数为试求：(1)位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；(2)当参考输入为r×1(t)，rt×l(t)和rt2×1(t)时系统的稳态误差。解：根据误差系数公式，有位置误差系数为211KGssasbscs速度误差系数为200limlim11vssKKsGssKsasbscs200limlim11pssKKGssasbscs加速度误差系数为22200limlim011assKKsGsssasbscs当参考输入为r×1(t)，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为011ssprreK当参考输入为rt×l(t)，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为ssvrreKK参考输入为rt2×1(t)，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为220ssarreK如果系统承受的输入信号是多种典型函数的组合，例如212312rtkktkt则根据线性叠加原理，可将每一输入分量单独作用于系统，再将各稳态误差分量叠加起来，得到3121sspvakkkeKKK显然，这时至少应选用2型系统，否则稳态误差将为无穷大。无穷大的稳态误差，表示系统输出量与输入量之间在位置上的误差随时间t而增长，稳态时达无穷大。由此可见，采用高型别系统对提高系统的控制准确度有利，但应以