排列组合与概率统计专题复习

排列组合与概率统计专题一、2012年考纲要求(1)理解排列、组合的意义，掌握计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.；(2)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.；(3)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件、等可能性事件的概念的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；(4)了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；(5)会计算事件n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；(6)了解离散型随机变量及其期望、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差；(7)会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本，用样本频率分布去估计总体分布；(8)了解正态分布的意义及主要性质，线性回归的方法和简单应用.二．经典例题剖析考点一排列、组合的应用问题1.在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有()1212111121212121211211CCCD.CCCCCCC.CCCC.CBCCCA.Cnmnmnmmnnmmnnmmnnm解析：方法1：从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点，可构造一个三角形，有C1mC2n个；第二类办法新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C2mC1n个；第三类办法新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C1mC1n个新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆由加法原理共有N=C1mC2n+C2mC1n+C1mC1n个三角形新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆方法2新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆从m+n+1中任取三点共有C31nm个，其中三点均在射线OA(包括O点)，有C31m个，三点均在射线OB(包括O点)，有C31n个新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆所以，个数为N=C31nm－C31m－C31n个新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆答案新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆C2.如图，一环形花坛分成ABCD，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）.A．96B．84C．60D．48解析：解法一当选两种不同的花时，有1224A种，选三种不同的花时有48331234ACC种，选四种不同的花时有2444A种，共有84244812种.DBCA解法二当A、C种同一种花时，有36131314CCC种，当A、C种不同的花时，有48121224CCA种，共有844836种，故选B.3.将5名志愿者分配到3个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540B.300C.180D.150解析：将5分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，１两种，所以共有150332223253335AACCAC种方案，故D正确．4.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为.18A.24B.30C.36D的种数是24C，顺序有33A种，而甲乙被分在同一个班的有33A种，所以种数是30333324AAC,故C正确.5.已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33(B)34(C)35(D)36解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为113233CCA＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33个，选A6.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是.A．152B．126C．90D．54解析：甲乙从事同一样工作，有183313AC种安排方案，甲乙从事不同工作，有108222323ACA种安排方案，则共有12610818种，应选C.考点二、二项式定理的应用7.设222212012122)...2nnnnnxaaxaxaxax（，则22024213521lim[(...)(...)]nnnaaaaaaaa解析：令0x得2021()22nna令1x时201222(1)2nnaaaa令1x时201222(1)2nnaaaa两式相加得：2202222(1)(1)222nnnaaa两式相减得：22132122(1)(1)222nnnaaa代入极限式可得，故08.10xy的展开式中，73xy的系数与37xy的系数之和等于.解析：由二项式定理，37yx的系数为310C,73yx的系数为710C，故系数和为240)(710310CC.9.若多项式91010910102,)1(9)1()1(axaxaxaaxx则-1010.已知n4)x21x(的展开式前三项中的x的系数成等差数列。求展开式里所有的x的有理项；求展开式里系数最大的项。解析：（1）∵)1n(n81)21(C,2n21C,1C22n1n0n由题设可知08n9n),1n(n8112n22解得n=8或n=1（舍去）当n=8时，通项r434rr8r4r8r81rx2C)x2()x(CT据题意，4r34必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8∴r=0，4，8，故x的有理项为41xT，x835T5，29x2561T设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+10，故有r1rtt≥1且1r2rtt≤1∵r2r92C2Ctt1r1r8rr8r1t由r2r9≥1得r≤3又∵)1r(2r82C2Cttrr8)1r(1r81r2r由)1r(2r8≤1得：r≥2∴r=2或r=3所求项为253x7T和474x7T考点三、概率11.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为.A、13B、14C、16D、112解析：因为22()()2()mninmimnnmi为实数，所以22nm故mn则可以取1、26，共6种可能，所以1166616PCC12.一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A．122B．111C．322D．211解析：设“取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数”为事件A，则A包含的有利事件有11233312mCCC种，而从中任取两个球共有n=66212C种结果，由等可能性事件的概率公式知,122().6611mPAn故选D.13.从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96PA．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()PB．解析：（1）记0A表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01AA，互斥，且01AAA，故01()()PAPAA212012()()(1)C(1)1PAPApppp于是20.961p．解得120.20.2pp，（舍去）．（2）记0B表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则28002100C316()C495PB．∴00316179()()1()1495495PBPBPB14.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是.A．512B．12C．712D．34解析：依题意有21)(AP,61)(BP,则A、B至少有一个发生的概率是127))(1)((1(1BPAP,故选C.15．抛一枚均匀的骰子来构造数列na111(),.1()nninninaaaaan当第次出现奇数时使记当第次出现偶数时（1）求713iia的概率；（2）若71213,0iiiiaa求的概率.解：（1）设事件713iia为A，则在7次抛骰子中出现5次奇数，2次偶数，而抛骰子出现的奇数和偶数的概率为P是相等的，且为21P。12821)21()21()(2557CAP。（2）若2,2,0212121iiiiiiaaa或则，即前2次抛骰子中都是奇数或都是偶数.若前2次都是奇数，则必须在后5次中抛出3次奇数2次偶数，其概率：645)21()21(4123251CP；若前2次都是偶数，则必须在后5次中抛出5次奇数，其概率：.1281)21(4152P∴所求事件的概率.12811128164521PPP16.栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活的概率分别为0.7，0.9．（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A，2A；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B，2B，1()0.6PA，2()0.5PA，1()0.7PB，2()0.9PB．（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1212()