搜索
1排列组合基础知识及习题分析排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：1．有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.*****************************************************************************习题1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（C）(A)25个(B)26个(C)36个(D)37个2、（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？3、七个同学排成一横排照相.（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600）（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（1440）（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（3120）（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（1440）2（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数.（1）能组成多少个四位数？（300）（2）能组成多少个自然数？（1631）（3）能组成多少个六位奇数？（288）（4）能组成多少个能被25整除的四位数？（21）（5）能组成多少个比201345大的数？（479）（6）求所有组成三位数的总和.（32640）5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？（152096）（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？（7224560）（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？（67910864）（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？（7376656）（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？（75135424）6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__种.8、有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有（）9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有____种10、在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？990解决排列组合问题的策略1、逆向思维法：例题：7个人排座，甲坐在乙的左边（不一定相邻）的情况有多少种？例题：一个正方体有8个顶点我们任意选出4个，有多少种情况是这4个点可以构成四面体的。例题：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A．24个B．30个C．40个D．60个2、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略：（1）无关型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集例题：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?（2）包含型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系例题：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?P55×－P44＝120－24＝96用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被25整除且数字不同的六位数?25，75（3×3×2×1）×2＋P44＝36＋24＝60（3）影响型：两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。例题：用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?3、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略例题：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个。4、解排列组台混合问题——采用先选后排策略3对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。例：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有___种。1445、插板法插板法的条件构成：1元素相同，2分组不同，3必须至少分得1个插板法的类型：（1）、10块奶糖分给4个小朋友，每个小朋友至少1块，则有多少种分法？（典型插板法点评略）（2）、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法？（凑数插板法：这个题目对照插板法的3个条件我们发现至少满足1个这个条件没有，所以我们必须使其满足，最好的方法就是用14块奶糖来分，至少每人1块，当每个人都分得1块之后，剩下的10块就可以随便分了，就回归到了原题）（3）、10块奶糖放到编号为1，2，3的3个盒子里，每个盒子的糖数量不少于其编号数，则有几种方法？（定制插板法：已然是最后一个条件不满足，我们该怎么处理呢，应该学会先去安排使得每个盒子都差1个，这样就保证每个盒子必须分得1个，从这个思路出发，跟第二个例题是姊妹题思路是一样的对照条件想办法使其和条件吻合！）（4）、8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为1～11的盒子里面，每个盒子至少放1个，有多少种方法？（多次插空法这里不多讲，见我排列组合基础讲义）6、递归法（枚举法）公考也有这样的类型，排错信封问题，还有一些邮票问题归纳法：例如：5封信一一对应5个信封，其中有3个封信装错信封的情况有多少种？例如：10张相同的邮票分别装到4个相同的信封里面，每个信封至少1张邮票，有多少种方法？疑难问题1、如何验证重复问题2、关于位置与元素的相同问题，例如：6个人平均分配给3个不同的班级，跟6个学生平分成3组的区别3、关于排列组合里面，充分运用对称原理。例题：1，2，3，4，5五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数？例题：7个人排成一排，其中甲在乙右边（可以不相邻）的情况有多少种？注解：分析2种对立情况的概率，即可很容易求解。当对立情况的概率相等，即对称原理。4、环形排列和线性排列问题。（见我的基础排列组合讲义二习题讲解）例如：3个女生和4个男生围坐在一个圆桌旁。问有多少种方法？例如：3对夫妇围坐在圆桌旁，男女间隔的坐法有多少种？注解：排列组合中，特殊的地方在于，第一个坐下来的人是作为参照物，所以不纳入排列的范畴，我们知道，环形排列中每个位置都是相对的位置，没有绝对位置，所以需要有一个人坐下来作为参照位置。5、几何问题：见下面部分的内容。例析立体几何中的排列组合问题在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。41点1．1共面的点例题：四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）A．30种B．33种C．36种D．39种答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属难度中等的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。1．2不共面的点例2：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种解析：从10个点中任取4个点有C（10，4）＝210种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有C（6，2）＝15种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有210－4×15－6－3＝141种。答案：D。点评：此题难度很大，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。几何型排列组合问题的求解策略有关几何型组合题经常出现在各类试题中，它的求解不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要掌握相关的几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高，因此要求掌握四种常用求解策略.一分步求解例1圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为______．解：本题所求的三角形，即为圆的内接直角三角形，由平面几何知识，应分两步进行：先从2n个点中构成直径（即斜边）共有n种取法；再从余下的(2n－2)个点中取一点作为直角顶点，有(2n－2)种不同取法．故总共有n(2n－2)＝2n(n－1)个直角三角形．故填2n(n－1)．例2：从集合{0、1、2、3、5、7、11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点原直线共有____条（结果用数值来表示）.解：因为直线过原点，所以C＝0.从1、2、3、5、7、11这6个数中任取2个作为A、B，两数的顺序不同，表示的直线也不同，所以直线的条数为P（6，2）＝30．二分类求解例3四边体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3点，使它们和A在同一平面上，不同取法有（）(A)30种(B)33种(C)36种(D)39种解：符合条件的取法可分三类：①4个点（含A）在同一侧面上，有3＝30种；②4个点（含A）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种；由加法原理知不同取法有33种，故选B.三排除法求解例4从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）(A)8种(B)12种(C)16种(D)20种解：由六个任取3个面共有C（6，3）＝20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件共有20－8＝12种，故选(B)．例5正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有（）个？解：从7个点中任取3个点，共有C（7，3）＝35个，排除掉不能构成三角形的情形．3点在同一直线上5有3个，故符合条件的三角形共有35－3＝32个．四转化法求解例6空间六个点，它们任何三点不共线，任何四点不共面，则过每两点的直线中有多少对异面直线？解：考虑到每一个三棱锥对应着3对异面直线，问题就转化为能构成多少个三棱锥.由于这六个点可构成C（6，4）＝15个三棱锥，故共有3×15＝45对异面直线.例7一个圆的圆周上有10个点，每两个点连接一条弦，求这些弦在圆内的交点个数最多有几个？解：考虑到每个凸四边形的两条对角线对应一个交点，则问题可转化为构成凸四边形的个数．显然可构成C（