排列组合的综合应用专题讲座及同步训练(有详细解答)

排列组合的综合应用专题讲座及同步训练（有详细解答）一、明确复习目标1.加深对排列、组合意义理解;2.掌握有关排列、组合综合题的一些常用解法;3.学会分类讨论的思想,提高分析问题和解决问题的能力.二．建构知识网络解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,透过问题的表面现象,看出问题的数学本质.然后,要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1.优限法:优先解决带限制条件的元素或位置，或说是“先解决特殊元素或特殊位置”.2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.如：5人站成一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有141423444433AAAAAA=156种排法。3.排除法.从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆4.捆绑法:某些元素必相邻的排列.可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列，然后再再给那“一捆元素”内部排列.5.插空法:某些元素不相邻的排列.可以先排其它元素然,再让不相邻的元素插空;6.插板法：n个相同元素,分成m(m≤n)组,每组至步一个的分组问题——把n个元素排成一的排,从n-1个空中选m-1个空,各插一个隔板,有11mnC.例如:n个相同的小球分给m个人,每人至少一个小球的分法有11mnC种分法.如果没有“每人至少一个”的限制,则需设想“每人先献出一个小球”,再对n+m个小球用“插板法”,有1nmnmC种.7.分组、分配法：分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别。一般地平均分成n堆（组），必须除以n!,如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m！例如：6本不同的书分成三组，分别是1本、2本、3本，共有123653CCC=60种分法；6本不同的书分成三组，每组2本，共有522642CCC÷3！=15种分法；6本不同的书分成三组，分别是1本、1本、4本，共有114654CCC÷2！=15种分法；分配问题(有序分组):逐个分给.例如:7本不同的书,分给甲、乙、丙三个人,依次得3、2、2本，有322742CCC=210种分法。如果不明确谁得3本,谁得2本呢?(先分组再分配,或先确定确定得3个球,再逐个分)8.错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：三、双基题目练练手1．(2005湖北文)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A．168B．96C．72D．1442．（2006北京）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有()A.36个B.24个C.18个D.6个3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是()A.234B.346C.350D.3634.(2005江苏)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）A．96B.48C.24D.05.某校准备参加2008年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_______种.6.(2006陕西)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种7.(2005春北京)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有__________个，其中不同的偶函数共有__________个．（用数字作答）8.(2005浙江)从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．简答:1-3.DBBB;3.（1）前排一个，后排一个，2C18·C112=192.（2）后排坐两个（不相邻），2（10+9+8+…+1）=110.（3）前排坐两个，2·（6+5+4+4+3+2+1）=44个.ABDC12345678P∴总共有192+110+44=346个.解法二：考虑中间三个位置不坐，4号座位与8号座位不算相邻.∴总共有A219+2+2=346个.答案：B4.先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有A44=24种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放:7放入①，8放入②，5放入③，6放入④;或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④两种放法.综上所述:共有A44×2=48种放法.故选B.5.用隔板法：C79=C29=36.6.600;7.186;8.8424.四、经典例题做一做【例1】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内(1)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解:（1）2455CA=1200（种）(2)55A-1=119（种）(3)不满足的情形：第一类，恰有一球相同的放法：15C×9=45第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：先让1号球放，1号球放到哪个盒中就让哪个球放，……有4×(2+3×3)=44(种),∴满足条件的放法数为：55A-45-44=31（种）【例2】某运输公司有3个车队,每个车队有10辆汽车,现从这3个车队中选派6辆汽车执行一项运输任务,每个车队至少1辆共有多少种选派方法?分析：这里所谓不同的选派方法，只是每个车队派车数目的不同，是相同元素的分组问题——用“插板法”解：把6个派车指标排成一排，是一种排法，有5个空，插2个板，分成3组即可，共有25C=10（种）◆拓展引伸：方程x+y+z=7有多少组正整数解？（看成7个相同的元素分给3人）若求方程x+y+z=7有多少组自然数解呢？（让3人每人拿出1个元素，如上法分10个元素）【例3】某学习小组有8名同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中共有男女同学多少人？解：设有男生n人，女生8-n人，则有21383180nnCCA即(n-1)n(8-n)=60.又27,186,nn60的小于等于7的因数有1、2、3、4、5、6，因为n-1和n相邻，∴n=5,8-n=3,即男生5人，女生3人，或n=6,8-n=2，即男生6人，女生2人。◆提炼方法：1.引进待定的未知数,列方程求解;2.“先取元素，后排顺序”.一类重要题型和方法。【例4】一栋7层的楼房备有电梯,现有A,B,C,D,E五人从一楼进电梯上楼，求(1)有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数.(2)在(1)的条件下,一层只能下1个人,共有多少种情况?解:(1)分A上不上7楼两类：A上7楼，有54种；A不上7楼，有4×4×43种.共有54＋4×4×43＝1649种．(2)分2楼下人和不下人两类,每类再分A上不上7楼两种情况.2楼下人,有34244434()CAAA种;2楼不下人,有55A种∴共有3424544345()CAAAA=504种情况.◆提炼方法：题(1)是计数原理,题(2)是排列组合,应注意区分.【研讨.欣赏】（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法?（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法?解：（1）先将3人（用×表示）与4张空椅子（用□表示）排列如图（×□□×□□×），这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示（↓×□↓□×□↓□×↓），从4个空当中选2个插入，有C24种插法；二是2张同时插入，有C14种插法，再考虑3人可交换有A33种方法.所以，共有A33（C24+C14）=60（种）.下面再看另一种构造方法：先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有A35C22种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插法，所以所求的坐法数为A35·C22=60.（2）可先让4人坐在4个位置上，有A44种排法，再让2个“元素”（一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位）插入4个人形成的5个“空当”之间，有A25种插法，所以所求的坐法数为A44·A25=480.五．提炼总结以为师1.对排列、组合的应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步.2.对于有附加条件的排列组合应用题，应掌握以下基本方法与技巧（1）特殊元素优先安排；（2）合理分类与准确分步；（3）先选后排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价转化.3.记住一些常题型的特殊解法;如捆绑法,插空法,排除法,插板法,分组、分配等.同步练习排列组全的综合应用【选择题】1.(2006天津)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种2.(2005湖南)4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（）A．48B．36C．24D．18【填空题】3.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_______种.4.(2005辽宁)用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有个.（用数字作答）5.（2006辽宁）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有__