排列组合一、知识网络二、高考考点1、两个计数原理的掌握与应用;2、关于排列与组合的定义的理解;关于排列与组合数公式的掌握;关于组合数两个性质的掌握;3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题(多为排列与组合的混合问题)三、知识要点一.分类计数原理与分步计算原理1分类计算原理(加法原理):完成一件事,有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。2分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。3、认知:上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据,它们的区别在于,加法原理的要害是分类:将完成一件事的方法分成若干类,并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立,运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事;乘法原理的要害是分步:将完成一件事分为若干步骤进行,各个步骤不可缺少,只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成(在这里,完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤,而不能独立完成这件事)。二.排列1定义(1)从n个不同元素中取出m()个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。(2)从n个不同元素中取出m()个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记为.2排列数的公式与性质(1)排列数的公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=特例:当m=n时,=n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1规定:0!=1(2)排列数的性质:(Ⅰ)=(排列数上标、下标同时减1(或加1)后与原排列数的联系)(Ⅱ)(排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系)(Ⅲ)(分解或合并的依据)三.组合1定义(1)从n个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示。2组合数的公式与性质(1)组合数公式:(乘积表示)(阶乘表示)特例:(2)组合数的主要性质:(Ⅰ)(上标变换公式)(Ⅱ)(杨辉恒等式)认知:上述恒等式左边两组合数的下标相同,而上标为相邻自然数;合二为一后的右边组合数下标等于左边组合数下标加1,而上标取左边两组合数上标的较大者。3比较与鉴别由排列与组合的定义知,获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程,而获得一个组合只需要“取出元素”,不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。(1)排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关,而排列不仅与选取的元素有关,而且还与取出元素的顺序有关。因此,所给问题是否与取出元素的顺序有关,是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。(2)注意到获得(一个)排列历经“获得(一个)组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤,故得排列数与组合数之间的关系:四、经典例题例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘,要求软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式是()A.5种B.6种C.7种D.8种分析:依题意“软件至少买3片,磁盘至少买2盒”,而购得3片软件和2盒磁盘花去320元,所以,只需讨论剩下的180元如何使用的问题。解:注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元,所以,这里只讨论剩下的180元如何使用,可从购买软件的情形入手分类讨论:第一类,再买3片软件,不买磁盘,只有1种方法;第二类,再买2片软件,不买磁盘,只有1种方法;第三类,再买1片软件,再买1盒磁盘或不买磁盘,有2种方法;第四类,不买软件,再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘,有3种方法;于是由分类计数原理可知,共有N=1+1+2+3=7种不同购买方法,应选C。例2、已知集合M={-1,0,1},N={2,3,4,5},映射,当x∈M时,为奇数,则这样的映射的个数是()A.20B.18C.32D.24分析:由映射定义知,当x∈M时,当x∈M时,这里的x可以是奇数也可以是偶数,但必须为奇数,因此,对M中x的对应情况逐一分析,分步考察:第一步,考察x=-1的象,当x=-1时,,此时可取N中任一数值,即M中的元素-1与N中的元素有4种对应方法;第二步,考察x=0的象,当x=0时,为奇数,故只有2种取法(=3或=5),即M中的元素0与N中的元素有2种对应方法;第三步,考察x=1的象,当x=1时,为奇数,故可为奇数也可为偶数,可取N中任一数值,即M中的元素1与N中的元素有4种对应方法,于是由分步计数原理可知,映射共有4×2×4=32个。例3、在中有4个编号为1,2,3,4的小三角形,要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种,使有相邻边的小三角形颜色不同,共有多少种不同的涂法?解:根据题意,有相邻边的小三角形颜色不同,但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色,于是考虑以对角的小三角形1、4同色与不同色为标准分为两类,进而在每一类中分步计算。第一类:1与4同色,则1与4有5种涂法,2有4种涂法,3有4种涂法,故此时有N1=5×4×4=80种不同涂法。第二类:1与4不同色,则1有5种涂法,4有4种涂法,2有3种涂法,3有3种涂法,故此时有N2=5×4×3×3=180种不同涂法。综上可知,不同的涂法共有80+180=260种。点评:欲不重不漏地分类,需要选定一个适当的分类标准,一般地,根据所给问题的具体情况,或是从某一位置的特定要求入手分类,或是从某一元素的特定要求入手分类,或是从问题中某一事物符合条件的情形入手分类,或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等等。例4、将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A.6种B.9种C.11种D.23种解法一(采用“分步”方法):完成这件事分三个步骤。第一步:任取一个数字,按规定填入方格,有3种不同填法;第二步:取与填入数字的格子编号相同的数字,按规定填入方格,仍有3种不同填法;第三步:将剩下的两个数字按规定填入两个格子,只有1种填法;于是,由分步计数原理得,共有N=3×3×1=9种不同填法。解法二:(采用“列举”方法):从编号为1的方格内的填数入手进行分类。第一类:编号为1的方格内填数字2,共有3种不同填法:241321432341第二类:编号1的方格内填数字3,也有3种不同填法:314234123421第三类:编号为1的方格内填数字4,仍有3种不同填法:412343124321于是由分类计数原理得共有N=3+3+3=9种不同填法,应选B解法三(间接法):将上述4个数字填入4个方格,每格填一个数,共有N1=4×3×2×1=24种不同填法,其中不合条件的是(1)4个数字与4个格子的编号均相同的填法有1种;(2)恰有两个数字与格子编号相同的填法有6种;(3)恰有1个数字与格子编号相同的填法有8种;因此,有数字与格子编号相同的填法共有N2=1+6+8=15种于是可知,符合条件的填法为24-15=9种。点评:解题步骤的设计原则上任意,但不同的设计招致计算的繁简程度不同,一般地,人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排,以减少问题的头绪或悬念。当正面考虑头绪较多时,可考虑运用间接法计算:不考虑限制条件的方法种数—不符合条件的方法种数=符合条件的方法种数。在这里,直接法中的“分析”与间接法主体的“分类”,恰恰向人们展示了“分步”与“分类”相互依存、相互联系的辩证关系。例5、用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字4位数,其中,必含数字2和3,并且2和3不相邻的四位数有多少个?解:注意到这里“0”的特殊性,故分两类来讨论。第一类:不含“0”的符合条件的四位数,首先从1,4,5这三个数字中任选两个作排列有种;进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置,又有种排法,于是由分步计数原理可知,不含0且符合条件的四位数共有=36个。第二类:含有“0”的符合条件的四位数,注意到正面考虑头绪较多,故考虑运用“间接法”:首先从1,4,5这三个数字中任选一个,而后与0,2,3进行全排列,这样的排列共有个。其中,有如下三种情况不合题意,应当排险:(1)0在首位的,有个;(2)0在百位或十位,但2与3相邻的,有个(3)0在个位的,但2与3相邻的,有个因此,含有0的符合条件的四位数共有=30个于是可知,符合条件的四位数共有36+30=66个点评:解决元素不相邻的排列问题,一般采用“插空法”,即先将符合已知条件的部分元素排好,再将有“不相邻”要求的元素插空放入;解决元素相邻的排列问题,一般采用“捆绑法”,即先将要求相邻的元素“捆绑”在一起,作为一个大元素与其它元素进行排列,进而再考虑大元素内部之间的排列问题。例6、某人在打靶时射击8枪,命中4枪,若命中的4枪有且只有3枪是连续命中的,那么该人射击的8枪,按“命中”与“不命中”报告结果,不同的结果有()A.720种B.480种C.24种D.20种分析:首先,对未命中的4枪进行排列,它们形成5个空挡,注意到未命中的4枪“地位平等”,故只有一种排法,其次,将连中的3枪视为一个元素,与命中的另一枪从前面5个空格中选2个排进去,有种排法,于是由乘法原理知,不同的报告结果菜有种点评:这里的情形与前面不同,按照问题的实际情况理解,未命中的4枪“地位平等”,连续命中的3枪亦“地位平等”。因此,第一步排法只有一种,第二步的排法种数也不再乘以。解决此类“相同元素”的排列问题,切忌照搬计算相同元素的排列种数的方法,请读者引起注意。例7、(1);(2)若,则n=;(3);(4)若,则n的取值集合为;(5)方程的解集为;解:(1)注意到n满足的条件∴原式==(2)运用杨辉恒等式,已知等式所求n=4。(3)根据杨辉恒等式原式====(4)注意到这里n满足的条件n≥5且n∈N*①在①之下,原不等式②∴由①、②得原不等式的解集为{5,6,7,…,11}(5)由注意到当y=0时,无意义,原方程组可化为由此解得经检验知是原方程组的解。例8、用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片,每套卡片有写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张,若从这15张卡片中,每次取出5张,则字母不同,且3种颜色齐全的取法有多少种?解:符合条件的取法可分为6类第一类:取出的5张卡片中,1张红色,1张黄色,3张绿色,有种取法;第二类:取出的5张卡片中,1张红色,2张黄色,2张绿色,有种取法;第三类:取出的5张卡片中,1张红色,3张黄色,1张绿色,有种取法;第四类:取出的5张卡片中,2张红色,1张黄色,2张绿色,有种取法;第五类:取出的5张卡片中,2张红色,2张黄色,1张绿色,有种取法;第六类:取出的5张卡片中,3张红色,1张黄色,1张绿色,有种取法;于是由分类计数原理知,符合条件的取法共有点评:解决本题的关键在于分类,分类讨论必须选择适当的分类标准,在这里,以红色卡片选出的数量进行主分类,以黄色卡片选出的数量进行次分类,主次结合,确保分类的不重不漏,这一思路值得学习和借鉴。例9、(1)从5双不同的袜子中任取4只,则至少有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少?(2)设有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,将五个小球放入五个盒子中(每个盒子中放一个小球),则至少有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种?(3)将四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共多少种?(4)某产品共有4只次品和6只正品,每只产品均不相同,现在每次取出一只产品测试,直到4只次品全部测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况有多少种?解:(1)满足要求的取法有两类,一类是取出的4只袜子中恰有2只配对,这只要从5双袜子中任取1双,再从其余4双中任取2双,并从每双中取出1只,共有