排列组合练习题

排列、组合测试题山东省寿光市寿光中学孙建平（262704）说明：(1)本试卷命题所考查的知识点比较全面，其中命题重点是排列、组合的有关概念、公式，以及有关排列、组合的应用题。(2)本试卷命制了部分开放题、创新题和实际应用题,如A组第5题（条件开放题）,.A组第6（几何体组合数问题），B组5(相邻问题),6(插空问题)，C组第2题(涂色问题).(3)该试卷命制了不少实际应用问题：如A组的3、4题，第7题（平均分配问题），B组3，12题等。(4)命制了少量的与立体几何、解析几何相关的问题，如A组的6，12题。(5)备选题见另一文档《备选题》A组一．选择题：1.5个高中毕业生报考三所重点院校，每人报且只报一所院校，则不同的报名法共有（）A.53种B.35种C.33A种D.35C种2.将119xqxqx写成mnA的形式是（）A.19xxqAB.20xxqAC.19qxqAD.20qxqA3.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为A.A88B.A55A44C.A44A44D.A584.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为A.24B.48C.120D.725.2n个学生排成一排的排法数为x，这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x、y的关系为A.xyB.xyC.x=yD.x=2y6.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A、150种B、147种C、144种D、141种二．填空题：7.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_______种.8.书架上原有5本书，再放上2本，但要求原有书的相对顺序不变，则不同的放法有_____________种.三．解答题：9.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，从口袋中取5个球，使总分不小于7分的取法有多少种？10.二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？B组一．选择题：1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是A.140B.84C.70D.352．将5名同学分配到四个不同的课外小组参加活动,每个课外小组至少有一名同学,共有分配方法(A)60种(B)120种(C)240种(D)480种3.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有（）A、6种B、24种C、48种D、720种4.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有A55·A24种B.A55·A25种C.A55·A26种D.A77－4A66种5.7人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两边的排法共有（）A、120种B、240种C、48种D、24种6、5人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有（）种A、60种B、36种C、24种D、48种二．填空题：7.在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有_______个.8.从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有_____________个.（用数字作答）三．解答题：9.有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？10.甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为多少？C组1．10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测完为止.求第4只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种?2．如下图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有多少种不同的涂色方法?ABCD答案与提示：A组1．答案：选A；提示：每人有3种报法，由乘法原理可得总的报法有53种。2．答案：选D；提示：有排列数的定义可知。3．解析：按分步计数原理，第一步，将女生看成一个整体，则有A55种方法；第二步，将女生排列，有A44种排法.故总共有A55A44种排法.答案：B4．解析：若不含A，则有A44种；若含有A，则有C34·C12·A33种.∴A44+C34·C12·A33=72.答案：D5．解析：第一种排法数为Ann22，第二种排法数为Ann2Ann=Ann22，从而x=y.答案：C6．解：从10个点中任取4个点有410C种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有46C4种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三种情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有14136C4C46410（种）7．答案：90。平均分配问题222642CCC=90。8．解析：分三步，每步各有6，7，8种放法，共有6×7×8=336种.答案：3369．解：设取x个红球，y个白球，于是：572{yxyx，其中6040{yx，14{23{32{yxyxyx或或因此所求的取法种数是：164426343624CCCCCC=186（种）10．解：由图形特征分析，a＞0,开口向上，坐标原点在内部f(0)=c＜0;a＜0,开口向下，原点在内部f(0)=c＞0,所以对于抛物线y=ax2+bx+c来讲，原点在其内部af(0)=ac＜0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b,故满足题设的抛物线共有C13C14A22A16=144条.B组1．答案：选C。分类：一是甲2乙1，有214530CC种选法；二是甲1乙2，有124540CC种，故共有70种。2．答案：选C。先从5名同学中选出2人作为一组，然后将4组参加四个不同的课外活动，共有2454240CA。3．答案：选C。提示：由题意知4个不同的商业广告可排在中间4个不同的位置上，有44A种不同的排法，再将两个公益广告排在两端有2种方法，故总的方法有44248A种。4．解析：正先排大人，有A55种排法，再排小孩，有A24种排法（插空法）.故有A24·A55种不同的排法.答案：A5．答案：选C。提示：由题知甲的位置确定，乙、丙的位置有2种，其他4人有44A种，故总的排法有44248A种。6．答案：选B。提示：第一步先排剩余两人，有2种排法；第二步可分两类：一类是三人互不相邻，用插空法得33A种方法；另一类是乙丙相邻，可将其视为1个元素，再与甲插空有2232AA种方法，故共有排法322332236AAA种。7．解析：形如2××0，3××1，4××2，5××3，6××4，7××5，8××6，9××7符合条件，共有8A28=448个.答案：4488．答案：36；解析：其中能被5整除的三位数末位必为0或5.①末位为0的三位数其首次两位从1~5的5个数中任取2个排列而成方法数为A25=20，②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C14种挑法，再挑十位，还有C14种挑法，∴合要求的数有C14·C14=16种.∴共有20+16=36个合要求的数.9．解：(间接法)：任取三张卡片可以组成不同三位数C35·23·A33(个)，其中0在百位的有C24·22·A22(个)，这是不合题意的，故共有不同三位数：C35·23·A33－C24·22·A22=432(个).10．解：每人随意值两天，共有C26C24C22个；甲必值周一，有C15C24C22个；乙必值周六，有C15C24C22个；甲必值周一且乙必值周六，有C14C13C22个.所以每人值两天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表数，有N=C26C24C22－2C15C24C22+C14C13C22=90－2×5×6+12=42个.C组1．解：优先考虑第五次（位置）测试.这五次测试必有一次是测试正品，有C16种；4只次品必有一只排在第五次测试，有A14种；那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有A44种.于是根据分步计数原理有C16A14A44种.2．解法一：依题意，给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用4种颜色涂色，有A45种方法；第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C35种；在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有C12种选法；3种颜色涂上去有A33种涂法.共C35·C12·A33种涂法；第三类，用两种颜色涂色.选颜色有C25种选法；A、C与B、D各涂一色有A22种涂法.共C25·A22种涂法.所以共有涂色方法A45+C35·C12·A33+C25·A22=260种.预备题：1．在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有()1212111121212121211211CCCD.CCCCCCC.CCCC.CBCCCA.Cnmnmnmmnnmmnnmmnnm从m+n+1中任取三点共有C31nm个，其中三点均在射线OA(包括O点)，有C31m个，三点均在射线OB(包括O点)，有C31n个.所以，个数为N=C31nm－C31m－C31n个.答案：C2.三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为__________.解析：根据题意，两端的座位要空着，中间6个座位坐三个人，再空三个座位，这三个座位之间产生四个空，可以认为是坐后产生的空.故共有A34种.这种执果索因的思考方法是处理排列、组合问题常用的方法.答案：243.今有2个红球、3个黄球、4个百球，同色球不加区分，将9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）答案：1206。提示：先全排列，再消去各自的顺序即可，则一共有992342341260AAAA种。4.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.答案：36.10名额分成8组，分为两类，一类是有两个班出2个有2828C种分法。二是有一个班级有3个名额，有8种分法，故共有36种分法。5.若直线Ax+By=0的系数A、B可以从{0，2，3，4，5，6}中取不同的值.这些方程表示不同直线的条数是_____________.解析：若A=0，表示直线y=0；若B=0，表示直线x=0；若A、B从集合中任取两个非零值有A25种，其中2x+4y=0与3x+6y=0，4x+2y=0与6x+3y=0，2x+3y=0与4x+6y=0，3x+2y=0与6x+4y=0同.所以这些方程表示的直线条数为2+A25－4=18.