排列组合组合练习题精心总结

1排列组合教案1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmm种不同的方法．例：1.在填写志愿时，一名高中毕业生了解到，在A大学里有4种他所感兴趣的专业，在B大学里有5种感兴趣的专业，如果这名学生只能选择一个专业，那么他共有多少种选择？2.一工作可以用2种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有4人只会用第二种方法完成，从中选出一人来完成这项工作，不同的选法的种数是2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，…，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmm种不同的方法．例：1.从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从A村经B村到C村，不同的线路种数是2.设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？3.从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___；3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．例：1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架中任意取一本书，有多少种取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？2.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生各选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？2排列定义从n个不同的元素中，取m个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取m个的无重排列。排列的全体组成的集合用A(n,m)表示。排列的个数用mnA表示。当m=n时称为全排列。(1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!mnnAnnnnmmnnm；!(1)(2)21nnAnnnn。例：1.23A；25A；35A；37A13A；15A；17A；03A05A；07A1.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种挂法？2.从5本不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名，并按排列的顺序出场比赛，有多少种不同的方法？组合定义从n个不同元素中取m个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取m个的无重组合。组合的全体组成的集合用C(n,m)表示，组合的个数用mnC表示.(2)组合数公式(1)(1)!()(1)21!!mmnnmmAnnnmnCmnAmmmnm；其中01nC.例：25C；35C；27C=；57C15C；17C；05C；07C1.（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？2.在一100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件，（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？排列数、组合数的性质：①mnmnnCC；②111mmmnnnCCC；③1121rnrnrrrrrrCCCCC.例：1.26C，46C；2.38C，58C.2.2827262535CCCCC；3．3837353433CCCCC；3ACBD解排列组合问题的方法有：一：特殊元素先排列：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。1．(1995年上海高考题)1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．2．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.3.某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_____；4.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？5.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？6.用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_______个；7.用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。8.某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_____种；9.A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形；10.用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有种不同涂法；411．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）图512．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）图613.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有72种54321二：相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____；2.4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？3.有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有()种．(结果用数值表示)4.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果,AB必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种三：不相邻问题插空法：（可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.）1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？4321DBCEA52.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有()个．(用数字作答)四：可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有nm种方法.1.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？2.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；五：有序问题组合法1.学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩{89,90,91,92,93}(1,2,3,4)ixi且满足1234xxxx，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种；2.设集合1,2,3,4,5,6,7,8A，对任意xA，有(1)(2)(3)fff，则映射:fAA的个数是_____；3.离心率等于qplog(其中91,91qp且*,Nqp)的不同形状的的双曲线的个数为_____。六：定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,AB可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种2.6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？3.4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。4.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种七：“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140种B、80种C、70种D、35种2.如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种八：多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。1.某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放.那么不同的实验方案共有_______种；62.某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_____种；九：阁板法，名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法，（每组至少一份），（每组至少一份，分成n份，需要n-1个隔板，当不是每组至少一份时，先转化为每组至少一份后再做）1.某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。2.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？3.10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？4.有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（216C）十.（不同物品）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。1.本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？2.把6个不同苹果平均分成三堆，一共有种分法.3.把6个不同苹果平均分成3份给3个小朋友，一共有种分法.4.把6个不同的苹果分成4堆，一共有种分法.5.把6个不同苹果分给4个小朋友，每个小朋友至少1个，一共有种分法.6.6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？7.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？8.5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种9．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。10.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284CCC种B、44412843CCC种C、4431283CCA种D、444128433CCCA种711.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种12.如4名医