排列组合高中数学组卷

第1页（共10页）排列组合高中数学组卷一．选择题（共9小题）1．（2016•衡阳校级一模）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种2．（2016•黄冈校级自主招生）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0B．1C．2D．33．（2016•新余二模）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）A．120B．240C．360D．4804．（2016•内江四模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种5．（2016•邯郸一模）现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（）A．90B．115C．210D．3856．（2016•成都校级模拟）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个．A．324B．216C．180D．3847．（2016•湖南校级模拟）某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习，每班2人，则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种8．（2016•陕西模拟）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种9．（2016•福建模拟）四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（）A．72B．96C．144D．240二．填空题（共3小题）10．（2016•黄冈校级自主招生）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=，q=．11．（2016•黄冈校级自主招生）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．12．（2016•绵阳模拟）从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有个．（用数字作答）三．解答题（共4小题）13．（2016•新余三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．（1）证明：EF∥平面PCD；第2页（共10页）（2）求证：面PBD⊥面PAC；（3）若PA=AB，求PD与平面PAC所成角的大小．14．（2016•银川模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．15．（2016•南京三模）设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．16．（2011春•琼海校级月考）从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）在（1）中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？第3页（共10页）排列组合高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016•衡阳校级一模）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种【分析】三所学校依次选1名医生、2名护士，同一个学校没有顺序，可得不同的分配方法数．【解答】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42=540种．故选D．2．（2016•黄冈校级自主招生）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】分析：要求方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数，进行简单的化简得3（x﹣）2+（y+1）2=，然后进行讨论，可以得到结论．解答：点评：【解答】解：3x2+y2=3x﹣2y，3x2+y2﹣3x+2y=0，3（x﹣）2+（y+1）2=，当x=0时，y=0，即（0，0），当x=1时，y=0，即（1，0），当x=2时，y无解．当x≥2时，y均无解，综上所述方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为2．故选C．3．（2016•新余二模）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）A．120B．240C．360D．480【分析】分三步，第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4分人，形成了5个空，任选一个空加一人，有5种，此时形成了6个空，任选一个空加一人，根据分步计数原理可得．【解答】解：第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4分人，形成了5个空，任选一个空加一人，有5种，此时形成了6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理可得3×4×5×6=360，故选：C．第4页（共10页）4．（2016•内江四模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【分析】分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有=24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有=36，根据分类计数原理，共有24+36=60（种）故选D．5．（2016•邯郸一模）现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（）A．90B．115C．210D．385【分析】根据黑球的个数分为三类，根据根据分类计数原理可得．【解答】解：分三类，两个黑球，有C42C62=90种，三个黑球，有C43C61=24种，四个黑球，有C44=1种，根据分类计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90+24+1=115，故选：B．6．（2016•成都校级模拟）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个．A．324B．216C．180D．384【分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：+=90种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：+=234种，根据分类计数原理得到共有90+234=324个．故选：A7．（2016•湖南校级模拟）某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习，每班2人，则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种【分析】先安排甲、乙，再安排其它实习老师，即可得出结论．【解答】解：∵6名实习老师到高一年级的3个班实习，每班2人，则甲在一班、乙不在一班，∴不同分配方案共有=24种．第5页（共10页）故选：B．8．（2016•陕西模拟）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C9．（2016•福建模拟）四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（）A．72B．96C．144D．240【分析】先从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女生所形成的3个空中，根据分步计数原理可得．【解答】解：先从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女生所形成的3个空中，故有A42A22A33=144种，故选：C．二．填空题（共3小题）10．（2016•黄冈校级自主招生）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=17，q=2．【分析】先根据5p+3q=91可知p、q为一奇一偶，再由p和q为质数可知p、q中必有一数为2，再把p=2或q=2代入5p+3q=91求出另一未知数的对应值，找出符合条件的未知数的值即可．【解答】解：∵5p+3q=91，∴p、q为一奇一偶，∵p和q为质数，∴p、q中必有一数为2，当p=2时，q==27，27为合数，故舍去，当q=2时，p==17．故p=17，q=2．故答案为：17，2．11．（2016•黄冈校级自主招生）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】先因式分解得到（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，即可得到只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，分别计算判断即可．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143=0⇒25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，第6页（共10页）即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26=1、5x﹣5a+26=39联立解得a=2.8不符合，②当5x﹣26=39、5x﹣5a+26=1联立解得a=18，③当5x﹣26=3、5x﹣5a+26=13联立解得a=8.4不符合，④当5x﹣26=13、5x﹣5a+26=3联立解得a=12.4不符合，∴当a=18时，方程为5x2﹣90x+325=0两根为13、﹣5．故答案为：18．12．（2016•绵阳模拟）从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有52个．（用数字作答）【分析】分两类，第一类，个位为0，第二类，个位是2或4，再利用分步计数原理求出每一类有多少个，然后相加．【解答】解：分两类，第一类，个位为0，有A52=20个；第二类，个位是2或4，有C21×C41×C41=32个，∴可组成没有重复数字的三位偶数有20+32=52个，故答案为：52．三．解答题（共4小题）13．（2016•新余三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求证：面PBD⊥面PAC；（3）若PA=AB，求PD与平面PAC所成角的大小．【分析】（1）如图连接BD，通过证明EF∥PD，证明EF∥平面PCD；（2）证明BD⊥AC，PA⊥BD，证明BD⊥平面PAC，然后证明面PBD⊥面PAC；（3）连接PE，说明∠EPD是PD与平面PAC所成的角．通过Rt△PAD≌Rt△BAD．在Rt△PED中，求出sin∠EPD的值，推出PD与平面PAC所成角的大小．【解答】解：（1）证明：如图连接BD，则E是BD的中点．又F是PB的中点，所以EF∥PD，因为EF不在平面PCD内，所以EF∥平面PCD；（2）因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD，因此BD⊥平面PAC，BD在平面PBD内，第