探究与分点有关的两个三角形面积的比值

探究与分点有关的两个三角形面积的比值江西省彭泽县杨梓中学（332713）程峰《中学数学杂志》2011第6期介绍了魏祥勤老师的文章《探究与分点有关的两个正方形面积的比值》，下称[1]，文[1]引发了笔者思考：文[1]中的正方形是否可推广到任意四边形，或任意正多边形。为此，笔者先从最简单的图形------三角形入手，继续探究与分点有关的两个三角形面积的比值。情形一、连结三角形三边上的分点所得到三角形面积与原三角形面积之比。例1：如图1，P、Q、R是△ABC三边上的点，且31ACCRBCBQABAP，求ABCPQRSS的值。解：连结BR，则923132ACCRBCQCSSSSABCBCRBCRCQRCQABCRSS，∴ABCCQRS92S.同理可得：ABCBPQSS92SPAR.∴ABCABCCQRBPQPARSS319231S-S-S-SSABCPQR.∴31ABCPQRSS.推广：在图1中，若nACCRBCBQABAP1,则23322nnnnSSABCPQR.证明过程同例一，故略。例2：如图2，P、Q、R是△ABC三边上的点，31ABAP，41BCBQ，51CACR，求ABCPQRSS的值。解：连结BR，则1545431ACARABAPSSSSABCABRABRAPRRAPABRSS，同理：61BABCQRSS，203CABCQRSS.∴ABCABCABCSSS12520361154SPQR,∴125ABCPQRSS.推广：在图2中，若a1ABAP,b1BCBQ,c1CACR,则accbcbabaSSABCPQR1111.证明过程同例2，故略。情形二：连结顶点与相对边上的分点所得的线段两两相交所围成的面积与原三角形面积之比。例3：如图3，在△ABC中，31ACAEBCCDABBF,AD、BE、CF两两相交于点G、H、I，求ABCSSGHI的值。解：连结BG，设sSABC，xSDCG,ySBGF,则3xSBCG.s31S31SABCBCF.∴syx313(1)2x2SBGDGCDS,y33SSBFGABG，s32S32SABCABD.∴syx3232(2)由（1）（2）解得sx211,sy214.同理可得s211SSFBIEAH.又s31SSBEAADC，∴215s21231SSHAFIGCEH四边形四边形，∴s71s211-2152-32SGHI,∴71GHIABCSS.推广：在图3中，若nACAEBCCDABBF1,则31222GHInnnnSSABC.证明过程同例3，故略。例4：如图4，在△ABC中，31ABBF，41BCCD，51ACAE，AD、BE、CF两两相交于点G、H、I，求ABCSSGHI的值。解：连结BG，设sSABC，xSDCG,ySBGF,则syx314（1）syx4333（2）解得sx361,sy361.即s361SDCG.同理可得s801SAEH,sBI391SF.∴s39180151SAHIF四边形，∴s36180241SECGH四边形，∴sSCGHHIF1872529s5141313918013611SS-SSAEHEAACFGHI四边形四边形∴1872529GHIABCSS.推广：在图4中，若a1ABBF,b1CBCD,c1ACAE,则cbacbccbabbaacaSSABC1111111111GHI情形三：把三角形三边延长，连结延长后的线段的端点所得的三角形与原三角形面积之比。例5：如图5，延长△ABC的三边，使21CEDACAEBCABB，连结D、E、F，求ABCSSDEF的值。解：连结AE.设sSABC,则s21SACE,ss412121S21SACEAEF,∴ss4341s21SCEF,同理可得s43S21SBDEADF.∴sssSCEF413493SSABCDEF.∴413DEFABCSS.推广1：在图5中，若n1CEDACAEBCABB,则22DEF33nnnSSABC,证明略。推广2：在图5中，若a1ABBD,b1CBCE,c1ACAE,则acbcabcbaSSABC1111111DEF,证明略。把例1中的三角形变为四边形，结果又如何呢？例6：如图6，点E、F、G、H分别在四边形ABCD的四边上，且3HADHGDCGFCBFBEAE，求ABCDEFGH四边形四边形SS的值。解：连结AC、AG，设sABCDS四边形.∵3HADHGDCG,∴43DADH,41DCDGDAHA∵3DAHAAHGDHGSS，41DAHAADGAHGSS，∴AHGDHG3SS，ADGAHGS41S,又∵41DCDGADCADGSS，∴DACDHGS163S,同理ABCAHGS163S,∴sS163S163S163SSABCDABCDACBEFDHG四边形.连结BD，同理可得：s163SSCFGAEH.∴s163S163SS163SSABCDABCDACBEFDHG四边形.连结BD，同理可得：s163SSCFGAEH∴s85S1661SSSSSSABCDDHGCFGBEFAEHABCDEFGH四边形四边形四边形∴85ABCDEFGH四边形四边形SS.推广：在图6中，若kHADHGDCGFCBFBEAE,则22ABCDEFGH11kkSS四边形四边形.点评：由例6可知，与分点有关的两个四边形面积的比可转化为与分点有关的两个三角形面积之比。有兴趣的读者可继续探究边数5的情形。参考文献：黄东坡大视野【M】湖北人民出版社2011.4