探索三角形相似的条件教学案例及反思

1探索三角形相似的条件（2）教学案例及反思教材分析：《探索三角形相似的条件（2）》选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（苏科版）八年级下册第十章《图形的相似》。《图形的相似》这一章是初中数学的重要内容之一。它是研究全等图形的继续和深化.由全等进入相似，即由保距变换进入保角变换，使认识扩大到了一个新的领域，具体表现在：线段关系从相等发展到成比例。同时，后续知识三角函数的概念、解直角三角形、圆的一些性质也是以相似形为基础的。所以《图形的相似》在整个教材中起着承上启下的作用。相似三角形在数学和实际生活中有着广泛的应用，根据定义判定两个三角形相似又过于麻烦，因此寻找三角形相似的条件有必要，也值得去探索，是本章的重要内容。三角形相似的条件课本共分为三课时，分别在每一课时介绍一种三角形相似的条件。《探索三角形相似的条件（2）》是第二课时，它是在相似条件一的基础上产生，而它的研究方法又为相似条件三的研究做出了示范，起着承上启下的作用.因此《探索三角形相似的条件（2）》在本章中更是重中之重。教学目标：1、通过实践和探索，得出两个三角形具备有两边对应成比例，并且夹角相等的条件，即可判断这两个三角形相似的方法。2、会选择适当的条件判断两个三角形相似。3、经历“猜想—验证—推广—说理—应用”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。教学重点：经历探索三角形相似的条件的过程及其应用。教学难点：三角形相似条件的说理（证明）和应用。设计理念：任何数学知识的发现都会经历：“猜想—验证—推广—说理（证明）—应用”这一过程，它是研究数学的基本思路。本节课先通过对特殊的相似三角形（相似比为1的三角形，即全等三角形）的边角边判定条件的研究，从而科学、大胆地提出猜想，接着用测量的办法来验证猜想，然后对我们的猜想做进一步的推广，为了确保猜想的正确性，再运用已有的知识加以论证、说明，最后对探索到的数学知识又加以应用。充分地体现了课标的过程教学，也完美地展示了数学研究的基本思路。教学实录：21、情境创设，提出猜想开始语：同学们，在上一节课的探索中，我们知道：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。那么三角形的相似还有没有其它条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途。出示课题：10.4探索三角形相似的条件（2）[板书]师：常言道“温故而知新”，下面邀请一位同学回忆一下三角形全等条件—边角边（SAS）的内容？生：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形全等。教师板书：①两边对应相等②夹角相等师：如图，在ABC和ABC中，AA.根据边角边（SAS）判定条件来判断ABC和ABC全等，还需要添加什么条件？生：还需要添加条件：ABAB，ACAC教师板书：（此板书在下面的教学过程中需要改变）在ABC和ABC中因为AAABAB，ACAC所以ABC≌ABC师：如果把条件：ABAB，ACAC改写成：1ABACABAC。那么ABC和ABC是否还全等？（在刚才的板书中改写）生：是的，因为条件ABAB，ACAC和条件1ABACABAC是等价的，所以两个三角形仍然是全等的。师：回答的很好！那么这两个三角形除了是全等关系外，还是什么关系？（学生思考）……生：相似吧，因为全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。（教师把刚才板书中的ABC≌ABC中的“≌”改成“∽”.）改动后的板书：3在ABC和ABC中因为AA1ABACABAC所以ABC∽ABC师：的确如此！也就是说：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例（比值为1），并且夹角相等.那么这两个三角形相似.师：伟大的科学家牛顿曾说过：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现和创造.那么对于三角形相似的条件，你们有什么大胆的猜想呢？（学生想说，但又不敢说。但在教师的鼓励下，有同学鼓起了勇气.）生：我的猜想是：如果把比值改成2，两个三角形可能也是相似的.教师在课件中出示猜想：在ABC和ABC中，如果2ABACABAC，AA，那么ABC和ABC相似吗？2、探索活动，揭示新知活动一操作、观察（验证猜想）师：在古希腊，人们经常用测量的方法来研究图形.今天，我们不防也用测一测、量一量的方法来验证我们的猜想.师：下面就让我们用自己的双手共同验证我们的猜想吧！！如图，在∠A和ABC中，AA师生共同操作：以∠A为内角，画△ABC，使得2ABABACAC师：同学们用量角器量一量B和B，你有什么发现吗？生：B和B相等.师：其他同学是否也有这样的发现？众生：是的！师：你能判断ABC和ABC相似吗？众生：能.师：谁能说说你的判断理由？生：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三4角形相似.师：通过验证，当比值为2的时候，两个三角形仍然相似.活动二：进一步猜想，推广k值师：如果设比值为k.通过刚才的研究：当k=1时，两三角形……生：相似师：当k=2时，两三角形……生：相似师：此时，你还有什么更大胆的猜想？（学生很积极）生：k可以取一切实数.生：不对，k可以取大于0的一切自然数.生：k可以取大于0的一切实数.生：和k无关，只要两边对应成比例.师：同学们的猜想都很大胆，都具有牛顿的品质，但对吗？生：我们可以用测量的办法加以验证啊？师：对！下面就请同学们分别验证k=2.5、3、3.5、4的时候是否还相似.（学生通过测量的办法分别验证着自己的猜想）师：你们有什么发现吗？众生：仍然相似.活动二说理师：同学们刚才认真的操作、仔细的观察加深了我们猜想的可信度。但举例有限，而k的取值却无限，那么我们能否运用已有的知识加以说明呢？教师在投影片上出示：如图，在ABC和ABC中，如果∠A=∠A′，ABABACAC，试说明：ABC∽ABC师：下面就让我们沿着问题的路标，向成功迈进吧！！教师出示问题1：5问题1：如何在△ABC中构造出一个与△ABC相似的三角形？（学生思考）生：作BC边的平行线.（学生根据上一节的内容很容易想到）师：非常棒！在AB边上任找一点B，过点B作BC∥BC，交AC于点C.根据上节课的知识，我们可以知道ABC与△ABC相似.师：像这样的三角形有多少个？生：无数个.教师出示问题2：问题2：点B在什么位置时，所构造的ABC可能与ABC全等？（学生思考）生：ABAB时.教师出示下图：师：假如ABC和ABC全等，而ABC又和ABC相似.那么ABC就和ABC相似.师：ABC和ABC全等已经有什么条件了？生：ABAB，AA.师：还需要什么条件？生：ACAC或BB或CC师：我们不妨从边入手.教师出示问题3：问题3：如何说明ACAC（学生思考、讨论）生：因为ABC∽ABC所以ABACABAC6又因为ABACABAC，ABAB所以ACAC师：刚才严谨的推理，再次说明了猜想的正确性.师：请同学们用自己的语言总结出我们今天的发现.（学生积极发言，通过前面的研究，基本都可以能说对）教师总结：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角．．相等，那么这两个三角形相似。教师板书：3、应用结论，加深理解师：通过前面的探索，我们又发现了一种判定两三角形相似的方法，下面我们就应用今日所学去解决更多的数学问题.（1）教师出示思考思考：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′.要使△ABC∽△A′B′C′，需要添加什么条件？生：BB生：AA生：ABACABAC师：要说明两个三角形相似，若已知一对等角，则可找另一对等角，或找夹已知等角的两边对应成比例。牛刀小试：课本121页练习第1题（2）教师出示讨论：讨论1：在△ABC中，AB=8㎝，AC=6㎝.在AB边上有一定点D，AD=4㎝，在AC边上有一动点E.试问：当AE=㎝时，△ABC和△ADE相似.7（学生充分讨论后，让学生在课件中找出两个三角形可能相似时点E的大概位置，如上图两点1E、2E）第一种情况：当动点E在1E处时：ADE∽ABC需要条件ADAEABAC第一种情况：当动点E在2E处时：AED∽ABC需要条件ADAEACAB讨论2：如图，在△ABC中，AB=4㎝，AC=2㎝.问题1：在AB上取一点D，当AD=㎝时，△ACD∽△ABC；问题2：在AC的延长线上取一点E，当CE=㎝时，△AEB∽△ABC.问题3：此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？（3）教师出示观察：观察：如图，将方格纸分成6个三角形.在②、③、④、⑤、⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形有哪些？为什么？84、小结与思考（1）学生总结：通过本节课的学习，你有什么收获？（2）教师总结：在今天的这节课中，我们通过“猜想—验证—推广—说理—应用”的过程，探索出三角形相似的条件。在这过程中，我们发扬着“敢想、敢做；务实、严谨”的数学精神。在这过程中，我们感受着数学从已知到未知的魅力。希望同学们在今后的学习中，继续“探索数学世界、秉承数学精神、感受数学魅力”。5、布置作业用今天所学的探索方法去探索三角形相似的其它条件。联系方式：地址：江苏省盐城市第四中学朱国华小灵通：0515—3105127电子信箱：[e-mail]9关于《探索三角形相似的条件（2）》的教学反思——经历知识过程渗透研究方法有人说：“数学课堂就是传授数学知识”，其实这种想法是很片面的。数学教学的目的不单单是传授枯燥的数学知识，更重要的是通过数学知识这一载体，培养学生的数学思维能力和渗透数学研究方法。数学思维能力和数学研究方法的形成，不能依靠教师告诉学生，它是潜移默化的，它只能够让学生在一次又一次的数学活动中感受它，应用它。这样有价值的数学活动越多，学生对它的理解就越深刻。这就需要教师能够提供给学生更多的数学活动机会，探究数学知识的发生过程就是一个很好的机会。为此，经历数学知识的形成过程在这次课程改革中被提到一个尤为重要的地位。在这过程中，更能培养学生的数学思维能力和数学研究方法的渗透。下面，就结合我在我校对外公开中的《探索三角形相似的条件（2）》一课，谈谈过程教学的得与失。本节课的主要内容是“如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这样的两个三角形相似。”应该说学生对该知识是能够比较容易掌握的，但为了能更好的培养学生的思维能力，养成良好的研究习惯，在本节课的教学中，我从数学研究的一般思路“猜想—验证—推广—说理（证明）—应用”进行了知识形成过程的教学，充分的展示出该知识的形成过程。下面就从数学研究的一般思路一一说起。一、提出猜想在《图形的全等》这一章的学习中，我们知道：根据全等三角形边角边判定条件判定两个三角形全等，只需知道两边对应相等，并且夹角相等。综合这判定条件和相似三角形，可以从以下三个层次做进一步的思考第一个层次：两边对应相等可以做一个等价的改变[两边对应成比例，且比值为1]。第二个层次：全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形，因此这两个三角形除了是全等关系，还是相似关系。第三个层次：相似三角形对边的要求比全等三角形对边的要求要宽松。但对角的要求是同等的。在以上三个层次的研究基础上，提出科学、大胆的猜想：一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，如果把比值条件放宽，比如把比值由1改为2的时候，那么两个三角形是否还相似呢？猜想并不是胡想乱想，它的提出需要学生对已有的知识和需探究的知识有很深刻的理解，很深的洞察力。光有知识是远远达不到要求的。上面猜想的提出就是