常见二元与多元分式函数最值求解策略

常见二元与多元分式函数最值问题的求解策略——————高中数学组何勇一元，二元甚至多元函数的最值问题在数学高考和数学竞赛中屡见不鲜，此类题目往往由于出题者的独具匠心，使得学生很难直接把握题目的特征。求解此类最值问题主要有两类方法一是函数方法，即将问题转化为二次函数，三角函数，分式函数的最值问题，二是不等式的方法，即使用配凑、拆分、待定系数等手段，以下简举几例，以作探讨。1.直接利用不等式求解类型例1．（2009重庆卷文）已知0,0ab，则112abab的最小值是（）A．2B．22C．4D．5分析：因为11112222()4abababababab当且仅当11ab，且1abab，即ab时，取“=”号，故选c。w.w.w例2.（2008江苏卷11）已知,,xyzR，230xyz，则2yxz的最小值．分析：直接消元可得2222(3)691919(6)(26)34444yxzxxzzxzxzxzxzxzzxzx，当3xyz时取等，所以2yxz的最小值为3。点评：在近几年的高考数学中，利用均值不等式求解分式最值类型题目较常见，处理的方式也较直接，一是直接用均值不等式，一是直接消元。2.齐一次分式型结构例3.,xyR，则22xyMxyyx的最小值为。分析：(,)Mxy为,xy的轮换对称式，猜想xy时的最小值为23，另(,)Mxy具有齐一次分式的结构，尝试是否可以将(,)Mxy转换成一次分式函数的最值法一：22()112222222521152()yxxyyxtxyMtyxyxxyyxxytxyxy通分令，可得22315252tMtt，在[2,)上单调递增，当2t时，函数有最小值23；法二：由于(,)Mxy具有齐一次分式的结构，尝试将(,)Mxy进行变形，以期出现倒数结构，再利用均值不等式求解最值，考虑在分子上配凑分母332(2)(2)2(2)(2)2232()2222222xyyxxyyxxyyxyxMxyyxxyyxxyyx可得223222222yxyxMxyyx，所以(,)Mxy有最小值23，当2222yxyxxyyx即xy时取得。点评：在此例中，明显的法二更加具有技巧性，需要学生敏锐的观察出两个分母与分子的关系。3.二元齐二次分式型结构先看一个较简单的题目：例4.（2011镇江高三期末改）不等式223()abbab对任意,abR恒成立,则实数的最大值为。法一：先分离参数，恒有223()abbab，可见223(,)()abMabbab为齐二次分式型，所以22222()3324b11()1aabattbMMtMababbtb分子分母同除以令442222Mtttt，易知ab时取等。法二：同法一恒有2222233()ababbababb，注意观察分母中的ab和分子中的“3”，将“3”进行拆分，22222222232222ababbabbMabbabbabb，易知ab时取等。再看一个较困难的：例5．（2011·湖北重点中学二联）对一切2,()()xRfxaxbxcab的值恒为非负实数，则abcba的最小值为。分析：由题意恒有2()0fxaxbxc，首先由于ab，()yfx不可能为正常函数，所以2200404ababacbac，可得24bca，由问题结构abcba将分子中的c进行放缩可得2224444()bababcaabbababaaba，问题则转化为求解22444()aabbMaba的最小值。法一：222244()()4469104()44(1)bbaabbbttaaMtMbabaata令，可得26919(6)344ttMttt，当4bca时取得。法二：22222244814444aabbabMabaaba，类似于问题一的分析合理“配凑”，222222222222281682168881111344444444ababaabaabaMabaabaabaaba，当4bca时取得。点评：以上三问均具有齐次分式的结构，法一将问题转化为分式型函数求最值的模式，解答较为直接；而法二对学生的能力提出了更高的要求，特别是在将问题如何转化为“积定”与“和定”结构时，需要学生对代数式进行合理的拆分、配凑。4.二元或多元高次分式型结构例6.（2010上海新知杯11第（2）问改）若实数a使得对于任意实数1234,,,xxxxR，不等式22221234122334xxxxaxxxxxx都成立，求a的最大值。分析：由分式结构考虑将2223,xx进行拆分，待定常数(0,1)k，使得22222222221234122334()(1)()()xxxxxkxkxxkxx12233422(1)2kxxkxxkxx，令1kk，解得512k，故22221234122334(51)()xxxxxxxxxx，可得a的最大值为51，当2314511,2xxxx时取得。点评：在此例中，解题时较明显的感觉应将分子进行“配凑”，但如何配凑以期出现分母直接观察是比较困难的，考虑待定系数的手段。练习：（1）223()xxyaxy对一切正实数x，y恒成立，实数a的取值范围为。提示：同问题二，答案：3a（2）（2010高考重庆理数）已知x0y0,x2y2xy8，，则x2y的最小值是（）A.3B.4C.92D.112提示：由x2y2xy8解出y代入x2y消元变成二次分式型函数求解答案：B（3）（2011重庆一中高一期中）设二次函数2()4fxaxxc的值域为[0,)，并且1919mca恒成立，则m的最小值为。提示：由已知条件得04aac，将4ac代入1919ca变成二次分式型函数求解答案：65。（4）,,xyzR，则2222xyyzxyz的最大值为。提示：待定系数：在2xyyz上乘以，以期出现2222xyyzxyz，而2222522()2()()24yxyyzxyzxyz，令254=1，解得25答案：52。