提高高考数学应用题解答能力的对策

1提高高考数学应用题解答能力的对策*华南师范大学数学系何小亚中国的数学教育比较注重学科体系的逻辑性和完整性，学生的基础知识较牢固，思维能力较强，他们在一些国际数学竞赛和数学测试中屡创佳绩就充分展示了这一优势.但是，随之而来的问题是：学生学习负担过重；数学应用的意识薄弱；动手能力、解决实际问题的能力较低.例如，在数学高考中，1995年的“渔政补贴”问题、1996年的“耕地减少”问题、1999年的“减薄率”问题，考生的得分率都很低.究其原因，考生失分的原因之一并不是缺乏相关的数学知识，而是缺乏解答数学应用题的策略.那么，如何提高高考数学应用题的解答能力呢？一、树立自信心，克服心理障碍和纯数学问题相比，数学应用题的文字叙述更加语言化，更贴近现实生活，题目也比较长，数量较多，数量关系显得分散隐蔽.因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生常常感到很茫然，不知从何下手，产生了惧怕数学应用题的心理，甚至导致怯场，题目都读不下去，最终只好放弃的现象.针对这一现象，教师应该通过分析讲解历届的高考数学应用题，使学生认识到，高考数学应用题并不象我们想象的那样难，其实是比较容易的.例1（1995年的应用题）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当的范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为元x∕千克，政府补贴为t元∕千克。根据市场调查，当148x时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：).148()8(40500)0,8()8(10002xxQtxtxP当QP时的市场价格称为市场平衡价格.（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？此题中的（1）可以先由方程QP解出)(tfx，再由x的范围确定定义域.而（2）只需解不等式10)(tfx即可.例2（1996年应用题）某地有耕地10000公顷.规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到公顷）？*本文根据笔者在2001年广州市中青年数学教师高考备考研修班上的讲稿整理而成。在此，要感谢广州市教委教学研究室的数学教研员谭国华先生，是他为笔者提供了这个课题。2（粮食单产=总人口数总产量人均粮食占有量耕地面积总产量,）本题只要根据10年后的人均粮食占有量比现在提高10%这个关系列出不等式，然后进行近似计算即可.例3（1997年的应用题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米∕时）的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？此题很容易，先写出),,0(),()(2cvbvvaSvSbvay再讨论何时y取得最小值.例4（1998年的应用题）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)此题也很容易.实际上是求，在限制条件)0,0(60224baaabb下，当a、b取何值时ab最大？例5（1999年的应用题）右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（Ⅰ）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过0r.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？(一对轧辊减薄率=输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度)（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm.如第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，痴点的间距为Lk。为了便于检修，请计算L1、L2、L3，并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.轧辊序号k1234痴点间距Lk（单位：mm）1600ABba23此题只要引导学生类比轧面皮，不难理解其意。所用到的数学知识也不过是增长率（减薄率）的概念、方程的思想、指数不等式的解法、等比数列的通项公式、体积概念及求法.例6（2000年的应用题）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线．．表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段．．．．表示。（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式)(tfP；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式)(tgQ；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）此题的（Ⅰ）是由函数图象写出函数表达式的纯数学问题.;300200,3002,2000,300)(tttttf.3000,100)150(2001)(2tttg而（Ⅱ）中的纯收益的计算方法题目已给出，即)()()(tgtftr=.300200,21025272001,2000,217521200122tttttt实际上是求分段函数)(tr的最大值的纯数学问题.通过对例1—6的详细讲解，使学生体会到高考数学应用题只不过是一些套上实际背景的简单的纯数学问题，只要掌握解答数学应用题的策略，这些问题其实并不难.不要一见到应用题就心虚，不战先败.要使学生相信自己的能力，树立起自信心，克服心理上的障碍.二、教学生阅读理解问题要解决一个问题，首先就要理解这个问题.数学应用题源于实际问题，是一个可以转化为纯数学问题来解答的实际问题.客观现实的多样性和复杂性使得实际问题的背景很复杂，它牵涉到客观物质现象、社会生产和社会生活的方方面面.由于学生分析思考的能力不够，对社会生产和社会生活方面的常识了解不多，缺乏相关的经验，因此，往往不能正确领会问题所传达的信息，这是学生解数学应用题的一大障碍.为此，教师可以采取下面的措施.O100200100300200300PtQtO501001502002505010015020025030041．教学生简缩问题.面对数学应用题，首先应认真仔细地阅读，一边阅读，一边思考：题目告诉你什么？要你做什么？哪些是重要的信息？哪些是次要的信息？给了什么数据？给了什么重要条件？然后删减掉那些次要的语句，保留并突出（加点、画线）那些重要的语句，这样就得到一个简缩的问题.例如前面的例1、4、5、6中作记号的部分都是一些重要的语句.2．教学生深入理解关键字句，要求学生复述问题.由于数学应用题中往往有许多其它知识领域的名词术语，圄于经验，学生常常不理解，这就妨碍了学生对问题的准确表征.对于专有名词，教师应在平时有计划、有步骤地将现代生产、生活中的常识介绍给学生，使学生熟悉相关的术语，了解它们的实际意义，逐步积累这些方面的经验.对于不熟悉的但又很关键的专有名词，第一种办法是，要学会用自己的经验进行类比理解和想象理解.例如，例5中的钢板冷轧生产流程对于大多数的考生、老师而言都是陌生的，但是，若能和轧面条或轧饺子皮类比，就不难理解带钢、轧辊、减薄和冷轧过程.第二种办法是，淡化专业术语的背景及其本身，从数量的角度或以名称符号的眼光看待专业术语，换句话说，你不知道它是什么，你就不要再深究它是什么，只要把它看成是一个数量或一个符号即可.例如，对于例4中的“该杂质的质量分数”，你不熟悉也没关系，你把它看成是一个数量来思考就行了.对于题目中即时规定的概念术语，要注意淡化其名称符号，仔细阅读其规定，准确理解它的的本质和适用范围，这是解决问题的关键.例如，例1中的“市场平衡价格”就是QP时的t；例5中的减薄率就是（老厚度—新厚度）∕老厚度，本质上和教材上的电讯产品降价率一样.对于较难理解的句子，一方面，要适当分拆句子，逐个理解构成句子的各个子项（如主语、谓语、宾语、定语等等）；另一方面，要寻找等价说法，也就是说要学会换一种说法，用自己的语言重新表述这些语句.例如，例5中的（Ⅰ）是较难理解的.我们可以如此理解：减薄率就是（老厚度—新厚度）∕老厚度，这和商品降价率=（老价格—新价格）∕老价格一样；厚度为的钢板，经若干对轧辊减薄后，就得到厚度为的薄钢板；“每对轧辊的减薄率不超过0r”，这说明每一对轧辊的减薄率是可以不同的，减薄率越大，需要的轧辊对数就越少；问至少要多少对轧辊，就是要轧辊的对数最少，这需要每一对轧辊的减薄率取最大，也就是0r.三、教学生建立数学模型1.要学会把问题简单化和符号化如果你已经理解了这个有实际背景的问题，并能用自己的语言复述这个问题，那么你现在需要做的是，尝试换一种说法，把你脑中的问题简单化，也就是说，你要尽量把问题转化成一个你比较熟悉而又简单的问题。然后将问题中的数量用字母符号表示出来，需要的时候，画出简单示意图，进行一些试算，列列表格，运用实验、联想、猜想、逻辑推理等方法去发现问题中的数量关系，并把这5些数量关系用你掌握的数学知识符号表示出来，这样一来，你已经把这个实际问题转化成了一个你熟悉的纯数学问题.换句话说，你已经建立了一个数学模型.例如，例1中的（1）实质上是由方程QP解出)(tfx，由x的范围来确定定义域.而（2）只需解不等式10)(tfx即可.经符号化后，例4可以化为：在约束条件60242abab下，求)0(kabky的最小值。但若注意到0k，问题还可以简化为：在约束条件60242abab下，求ab的最大值。如果不会简化问题，硬要求出k，那么就会与成功失之交臂.例5中的（Ⅰ）题目有问题．．．．．.出题者的本意相当于问题：年均降价率为0r，把价格降价至价格以下，至少需要几年？但是，根据题目的叙述方式，我们是可以理解为：年均降价率为0r，把价格降价为价格，需要几年？题目应改为：（Ⅰ）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度不超过．．．，若每对轧辊的减薄率不超过0r，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？2.要学会用列表格、画示意图来揭示隐含的数量关系对于那些数量关系不明确和数量关系较复杂的问题，我们可以按类别和时间的先后列出表格，依次填入已知的项目，然后集中精力研究未知的项目.这样，可以帮助我们理顺各种数量之间的关系，从而发现隐含的数量关系.例如，尽管例2的题目不算长，也没有难以理解的专业术语，但由于它包含的数量的类别较多，因而不容易找到所需的数量关系，这是考生得分率低的主要原因.实际上，只要用列表的方法，就可以克服这个障碍.设耕地平均每年至多只能减少x公顷，则可以填表如下：时间项目今年10年后耕地100001000010x粮食单产MM（1+22）粮食总产量10000M（1000010x）M（1+22）人口PP（1+1）10人均粮食占有量PM1000010%)11(%)221()1010000(PMx然后，根据10年后的人均粮食占有量比现在提高10%这个关系以及上表中的最后一行，就可以列出不等式模型进行求解.对于涉及的数量较多、关系复杂的问题，用画简单示意图的方式也是一种简缩问题，理顺关系，揭示内在联系的好办法.例7A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村106台，D村8台.已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是100元和200元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是90元和150元.试求：（1）总运费不超过2400元的不同的调运方案？（2）总运费最低时的调运方案.设由B市运往C村x台，则可以画出下面的简单示意图：6台B市C村10台12台A市D村8台依次标明运量和运费后，就可以