考虑统计与模型不确定性的结构统计可靠度理论

1考虑统计与模型不确定性的结构统计可靠度理论吕大刚宋鹏彦王光远哈尔滨工业大学土木工程学院，黑龙江哈尔滨150090摘要：结构工程中的随机性包括物理不确定性、统计不确定性和模型不确定性，经典的结构可靠度理论属于随机可靠度理论，因为它处理的主要是物理不确定性问题，而对于考虑统计与模型不确定性的结构统计可靠度问题，目前的研究则很不充分。文本将综合考虑物理不确定性、统计不确定性和模型不确定性，以Bayes理论为数学工具，对结构的统计可靠度问题进行研究。首先对Bayes理论进行了概括和总结，采用该理论对结构工程中的统计不确定性和模型不确定性进行了建模和分析。然后研究考虑统计与模型不确定性的结构可靠度分析方法，给出考虑统计与模型不确定性的各种结构可靠性测度，并研究了综合考虑主观不确定性与客观不确定性的整体式与分离式可靠度计算方法。最后通过两个算例，分析了统计不确定性和模型不确定性对结构可靠度的影响。关键词：随机可靠度；统计可靠度；统计不确定性；模型不确定性；Bayes统计学1引言结构工程中的随机性包括物理不确定性、统计不确定性和模型不确定性，物理不确定性是指各种物理量（如荷载、材料强度、结构尺寸等）的客观变异性；统计不确定性是由于对物理量进行统计分析时缺乏足够的样本信息而产成的；模型不确定性源于对复杂物理现象进行数学建模时的理想化假设。经典的结构可靠度理论属于随机可靠度理论，因为它处理的主要是物理不确定性问题。目前，在结构可靠度的研究领域，对于考虑统计与模型不确定性的结构统计可靠度问题，则研究得很不充分。Egeland在国际上较早地注意到了结构的随机可靠度与统计可靠度这两个学科之间的分野，并提出了将这两种理论进行融合的建议[1]。对于模型不确定性对结构可靠度的影响，目前国内外结构设计规范的统一处理方法是在考虑材料性能和几何参数随机性的抗力模型基础上，引入一个考虑计算模式随机性的随机变量，以考虑模型不确定性的影响。这种方法太粗糙，且属于经典的随机可靠度理论范畴。Ditlevsen首先提出了采用Bayes统计理论研究模型不确定性的方法[2]，Maes研究了承受模型不确定性时设计荷载准则的规范化问题[3]，Zhang和Mahadevan研究了基于可靠度的检测理论中的模型不确定性和Bayes修正技术[4]，Mahadevan等人采用Bayes概率网络技术，系统地研究了模型不确定性的分析与验证方法[5]，Igusa等人采用Bayes分析技术较系统地研究了结构工程中的不确定性[6]。DerKiureghian深入地研究了在不完全知识状态下结构安全性的各种测度[7]，并提出了考虑模型不确定性的结构地震易损性分析方法[8]。上述研究都是研究模型不确定性引起的结构可靠度问题，目前国内外对于考虑统计不确定性的结构可靠度问题则研究得更少，Lemaire等人对于统计数据不确定性对结构可靠度的影响进行了初步的研究[9]。文本将综合考虑物理不确定性、统计不确定性和模型不确定性，以Bayes统计理论为数学工具，对结构的统计可靠度问题进行深入细致的研究。2统计与模型不确定性的Bayes建模与修正在Bayes统计学中，Bayes公式通过来源于观测数据的似然函数修正先验概率分布，从而将主观信息与客观信息进行有机的集成：()()()fcLf(1)式中，()f为随机参数的先验分布，()L为的似然函数，1()()cLfd为归一化因子，()f为的后验分布。确定先验分布的方法主要有主观先验分布、扩散先验分布、无信息先验分布、共轭先验分布等2方法；似然函数是根据客观信息通过似然原理确定的；后验分布实际上是给定样本观测值x后的条件分布：(|)(|)()fxLxf，后验分布一旦得到，即可得到的平均值和标准差等后验统计信息。利用Bayes修正公式(1)可以对统计不确定性和模型不确定性进行建模与分析。设(,)ffxθ为随机向量X的联合概率密度函数，fθ为考虑统计不确定性的分布参数。当随机试验的观测值表现为等式观测（例如混凝土强度的统计分析）时，似然函数()fLθ可以取为1()(,)nfifiiLfθxθ(2)式中，12,,,nxxx是X的随机抽样的一组观测数据。如果抽样不是随机的，则必须使用样本值的联合分布建立似然函数，此时可以通过对于x的不等式观测（例如桥梁的荷载验证试验）来取代对于x的直接观测。假设不等式观测事件为()0,1,,iiiEginx，并假设ix是统计独立的，则有11()()0|()0|nnfiifiifiiLPgPgθxθxθ(3)结构工程中的模型不确定性及其相应的处理方法主要可以分为以下三大类：（1）模型的形式不精确，但是可以采用精确的方式对其进行观测；（2）模型的形式不精确，对模型的观测也存在误差；（3）对现有的近似模型进行校正。对于非精确模型、精确观测的情况，统计模型可以表示为ˆ(,)gygxθ(4)式中，ˆ(,)ggxθ为精确模型的近似模型，其中x为基本随机变量，gθ为模型参数；为偏差，即系统误差；为具有零均值和单位标准差的随机变量；为模型误差的标准差，是对模型不确定性的测度。假设：（1）正态性：(0,1)N；（2）均匀离中性（Homo-skedashcity）：与x独立；（3）无偏性，即令0，可得似然函数为：21ˆ(,)11(,)exp2niiggniygLxθθ(5)对于非精确模型、有观测误差的情况，统计模型可以表示为ˆiiiyye(6)式中，2(0,)ieNs为无偏观测。可得似然函数为：222/2221ˆˆ(,)11(,)exp()2niiggniygLssxθθ(7)对现有近似模型的校正情况，统计模型可以表示为ˆ()(,)(,)yggxxθxθ(8)式中，(,)xθ为校正项，它的一种可能形式为(,)()kkkhxθx(9)式中，()khx称为“解释性函数”（ExplanatoryFunctions）。3考虑统计与模型不确定性的结构可靠性测度将统计不确定性参数fθ和模型不确定性参数gθ写成向量[,]fgθθθ，则同时考虑统计与模型不确定性的结构失效概率可按下式计算3(,)0()(,)gffgpfdXxθθxθx(10)对于统计参数θ，通常有三种数学处理方法：点估计、区间估计和预测估计，相应地也有三种结构可靠性的测度。设ˆθ为θ的某种点估计，例如ˆθθM或MLEˆθθ（θM为θ的后验平均值，MLEθ为θ的最大似然估计），则失效概率和可靠指标的点估计分别为ˆˆ()ffppθ(11a)1ˆˆ[1]fp(11b)式中，1()为标准正态累积分布函数（CDF）的反函数。考虑某个统计参数θ，根据给定的置信水平，寻求满足'''()1P(12)的'和''，称为的区间估计问题。的平均值和方差可按下式计算：()θ(13a)2()()Tθθθθθθ(13b)从而得到可靠指标的区间估计为。根据Bayes统计学的基本原理，()fpθ的Bayes估计为其后验均值，即[()]()()ffEppfdθθθθθ(14)式中，()fθ为θ的后验PDF。由Fubini定理，有(,)0(,)0[()](,)()(,)()ggfffggEpfdfdffddXXθθxθxθθxθxθθxθθθx(15)由于(,)()()fffdfXθxθθθx，因此可以称()fx为预测分布，可用其作为失效概率和可靠指标的估计：()()[()]fffppfdEpθθθθθ(16a)1[1]fp(16b)fp和分别称为“预测失效概率”和“预测可靠指标”。4考虑统计与模型不确定性的结构可靠度分析方法物理不确定性属于客观不确定性，而统计不确定性和模型不确定性则属于主观不确定性。根据对于主观和客观不确定性数学处理方法的不同，结构的统计可靠度分析有以下两种分析方法。4.1主观与客观不确定性的整体式分析方法整体式分析方法1：一次分析这种方法将将,fgθθ与x同等对待，亦即将,fgθθ也视为随机变量，将其与x一起组成扩展的随机向量，然后采用经典的随机可靠度理论进行分析。采用该方法，失效概率按下式计算：(,)0(|)()()gfffggfgpfffdddxθxθθθθθx(17)通常情况下，可以假设随机向量,,fgxθθ相互独立，于是可以采用经典的FORM、SORM或IS等方法对式(17)进行一次随机可靠度分析即可得到可靠指标和相应的失效概率。4整体式分析方法2：预测分析这种方法利用x的预测分布()(|)()ffffffdxxθθθ(18)来计算结构的失效概率。将式(18)代入到式(17)中，可以得到相应的预测失效概率为(,)0()()gfgggpffddxθxθθx(19)整体式分析方法3：嵌套分析这种方法引入一个新的极限状态函数：(,)()guuθθ(20)式中，u为标准正态随机变量，并与θ独立。相应于式(20)的失效概率为()()0ˆ()()()()()fupfudududufdθθθθθθθθ(21)由于u为标准正态随机变量，因此上式中方括号内的积分为()()()()fudupθθθ(22)将式(22)代入到式(21)中，可得：ˆ()()()()fffppfdpθθθθθθ(23)由此可以看出，式(20)对应的失效概率ˆ()fpθ即为预测失效概率()fpθ。由于这种方法需要进行两层可靠度分析，第一层需要首先计算()θ，第二层再计算失效概率()fpθ，因此称之为“嵌套可靠度”分析。整体式分析方法4：近似分析这种方法直接求解预测可靠指标的近似表达式。对于功能函数式(20)，如果()gx为正态分布，则根据MVFOSM理论可知，预测可靠指标为/gg。如果()θ接近正态分布，则有：0g(24a)21g(24b)因此，预测可靠指标可以近似为21(25)这里，[()]Eθ，为主观不确定性的测度。4.2主观与客观不确定性的分离式分析方法与整体式分析方法不同，这种方法是将()θ单独视为一个随机变量。()θ的CDF为()()-0()()bFbfdθθθθ(26)显然，这是一个嵌套可靠度分析问题，内层需要首先计算()θ，外层再计算()()Fbθ。()θ的PDF为()()()()/fbFbbθθ(27)显然，这是结构可靠度理论中的灵敏度分析问题。将()θ在θM处近似展开为一次Taylor级数形式，可以得到()θ的一次近似为5()θM(28a)2TθθθθθθMθM(28b)式中，θM为θ的后验平均值，θ为θ的后验协方差矩阵。5算例分析5.1考虑统计不确定性的断裂可靠度分析焊接的裂缝尺寸是随机的，假设超过某一特定尺寸0s的概率密度函数定义为00(|)exp[()]fsssss(29)它是关于参数的移位指数分布。我们希望在裂缝尺寸资料的基础上对进行估计。假设通过对某一段焊缝观测，参数的似然函数可表示为011()(|)exp[()]nnniiiiLfsss(30)则由修正准则(1)可得其后验分布为1()()exp()()kvvfvk(31)上式表明，服从Gamma分布，01()niivss和1kn是它的两个分布参数。裂缝尺寸的预测分布为00100()exp[()]()=()kkkvfsssfdssvss(32)考