库恩-塔克定理在微观经济学中的应用

1库恩-塔克定理在微观经济学中的应用葛结根（中南财经政法大学经济学院武汉430060）摘要在经济学的许多问题中，需要运用不等式约束条件，而数学规划中的库恩-塔克定理是解决这些问题的恰当形式。库恩-塔克定理主要讨论原问题与库恩-塔克条件之间的关系，即研究原问题的最优解与满足库恩-塔克条件的点之间的关系。本文就微观经济学中的几个重要问题说明库恩-塔克定理的应用。关键词库恩-塔克条件成本最小化纳什均衡委托——代理问题一、成本最小化问题成本最小化问题是在给定产出水平的条件下，找到一种按最小成本生产的方法。我们以线性技术的成本函数来说明库恩-塔克定理的具体应用。假定生产函数2121),(bxaxxxf，要素1和要素2可以完全替代，因此，成本函数会采取如下形式：ybwawywwC)/,/min(),,(2121其中，1w和2w为两种要素的价格，y为产量。为表述上的方便，我们令1ba。此时，最小化问题为2211minxwxwyxxts21)1.(.0)2(1x0)3(2x该问题的拉格朗日函数可写作2211210221121210)(),,,,(xuxuyxxuxwxwxxuuuL库恩-塔克一阶条件为0101uuw0202uuwyxx2101x02x互补性松驰条件为01u；01u，若01x02u；02u，若02x现在要考察不等式约束起作用或不起作用的各种情形：①01x，02x。此时，除非0y，否则条件yxx21不能得到满足。②01x，02x。根据互补性松驰条件，02u。由一阶条件可得：101uuw，02uw。由于01u，故当21ww时，这种情况便会出现。因为01x，所以yx2。③01x，02x。用类似②中的方法可推出yx1，其条件是12ww。④01x，02x。由互补性松驰条件可知，01u，02u。这时，一阶条件给出：21ww。如果起作用或不起作用的约束有N种，那么就会有2N种可能的最优构造。因此，必须考察每一个约束，以证实是否与代表潜在的最优解所要求的每个条件都相容。2二、纳什均衡解纳什均衡是关于行动和信念的均衡，在均衡状态中，（1）信念正确；（2）每一局中人不断选择战略，以便在给定信念下，最大化自己的期望效用。假定有两家厂商A和B，从事相互关联的两个项目，其采取的策略和支付矩阵如下表：除合作不合作合作2，10，0不合作0，01，2首先我们可找出纯战略中的纳什均衡，它包括对各种战略选择的最好反应（在某种程度上）的系统检验。若A厂商推测B厂商采取合作策略，A厂商合作将得到利润2，不合作会得到利润0，故合作是A厂商对B厂商执行合作策略的最好反应。另一方面，若A厂商采取合作策略，则B厂商的最优反应是执行合作策略。因此，（合作，合作）是一个纳什均衡。类似地，（不合作，不合作）也是一个纳什均衡。现在用最优化来解决这个博弈问题。令),(dupp为A厂商执行合作和不合作策略的概率，),(rlpp为B厂商执行合作和不合作策略的概率，则当事人A厂商的最大化问题为)10()02(max),(rldrluppppppppdu1)1.(.duppts0)2(up0)3(dp令、1u、2u为约束条件的库恩-塔克乘子，此时，拉格朗日函数为dudurdlupupuppppppL21)1(2库恩-塔克条件为12upl2upr由于我们已经找出纯战略解，即已经考虑0up和0dp的情况。故现在只需考虑0up和0dp的情况。由附加的松驰条件可知，01u，02u。又因为1dupp，所以，当3/1lp，3/2dp时，A厂商发现其执行混合战略是最优的。将混合战略数值代入目标函数可计算出A厂商此时得到的期望支付为3/2。同样，对于B厂商而言，执行混合战略)3/1,3/2(dupp是最优的，得到的期望支付也是3/2。比较混合战略与纯战略，显然，两个厂商更倾向于选择一个纯战略，因为每一厂商都从纯战略中获得更高的支付。三、委托——代理问题在预测到合同签订后可能发生信息不对称的情况下，签约双方谋求设计一种可以减轻由此带来麻烦的合同。这种情况是当一个人聘用另一个人作为他的代理人，并由代理人替他采取行动时所特有的。因此，委托——代理问题主要是指合同设计问题。可以纳入委托——代理问题分析框架的经济关系范围十分广泛，如所有者与管理者，保险公司与投保人，银行与借款者等等。我们将集中讨论所有者——管理者问题。所有者A厂商B厂商3想诱导管理者从事有代价的某种活动。所有者可能难以直接观察到管理者的活动，但却能观察到至少部分地是由管理者的活动所决定的某一产出x。在这种情况下，所有者的问题是设计出一种所有者给予管理者的有激励性的报酬)(xs，以诱导管理者采取被所有者认为是最好的行动。信息不对称问题一般分为两类，一类由隐藏行动引起；另一类由隐藏信息引起。我们将考虑隐蔽行动这种情形，并把委托——代理环境设定在委托人处于垄断状态，这种设定会对模型中的两个问题产生影响：一是代理人的保留效用水平是外生的，即它一般是与某一不相关的活动相联系的效用；二是委托人可获得利润的最大值是该问题的目标函数。委托——代理问题的核心是设计最优激励方案。因此，首先要确定引致每一种可能行动的最优激励方案，然后比较这些方案对委托人的效用，以便委托人知道哪种方案花费最小。为便于分析，我们将作出几个假设。（1）存在有限个可能的产出水平),,(1nxx。（2）代理人可采取两种行动，a和b，它们影响各种产出出现的概率。并令iap为代理人选择行动a时产出水平ix被观察到的概率，ibp为代理人选择行动b时产出水平ix被观察到的概率；)(iixss为当观察到ix时委托人给予代理人的报酬。现在我们要设计一个方案以引致某一行动，例如b。令)(bV为当委托人设计出引导代理人选择行动b的方案时可以获得的最大可能效用。这样，委托人的最大化问题是ibiinispsxbVi)(max)(1)(nibibiucpsuts1)()1.(.niaiainibibicpsucpsu11)()()2(其中：u为保留效用，)(u为效用函数，ac和bc分别为行动a和b的成本。条件之一是参与约束：代理人可能有另一个获利的机会，他将给代理人带来某一保留效用，委托人必须保证代理人至少能获得这一保留效用水平，否则代理人将不参与。条件之二是激励相容约束：按委托人选择的既定激励安排，代理人将选择对自己最有利的行为；委托人不能直接选择代理人的行为，而只能通过对激励性报酬的选择来影响这一行为。建立拉格朗日函数niiaibiabibinibniibiippsuccpsuucpsxL111)])(([])([)(库恩-塔克一阶条件为0))((')('iaibiibiibppsupsup重新安排，便得到决定激励方案形式的方程ibiaippsu1)('1对于第一个约束条件，它将使乘子0。对于第二个约束条件，则需要进一步讨论。首先假设0。根据上述激励方程，)('isu等于常数/1，即代理人的报酬与活动结果无关。也就是说，委托人会向代理人支付固定的报酬。由此，我们可把is当作一个常数s，代入激励相容约束，得niniaiabibcpsucpsu11)()(由于每一概率分布之和为1，所以bacc4可以看出，当且仅当一种行动既是委托人所喜欢的，又对代理人来说是成本较低时，支付固定报酬的情形才会出现。这是委托——代理问题的一个解：最优激励计划是委托人给代理人提供完全保险。假设0，即约束起作用。一般来说，代理人的报酬is随产出ix的变化而变化。在这种情况下，委托人希望给代理人带来高成本的行动。因此，代理人的报酬将依赖于ibiapp/的大小。在统计学中，形如ibiapp/的表达式称为似然比，它衡量在给定代理人选择a时观察到ix的可能性与在给定代理人选择b时观察到ix可能性的比率。激励方程可用来推断最优激励计划的形式特征。例如，若固定支付s使得)]('/1[su，则有ssui)(若1ibiappssui)(若1ibiapp上式中所体现的含义是很明显的。在似然比ibiapp/小于1时，即结果ix在行动b下出现的概率更大时，最优激励计划将支付比s更高的报酬；类似地，在似然比ibiapp/大于1时，即结果ix在行动a下出现的概率更大时，最优补偿计划将支付低于s的报酬。因此，实际上我们可以看出，运用上述报酬支付方式，可以向代理人提供一个选择b而非a的激励方案。在统计学中，单调似然比性质常被用来分析最优方案的效果问题（Milgrorn,1981），这个性质就是似然比在ix上是单调递减的，也就是说，b行动下得到产出ix的可能性相对于a行动下得到产出ix的可能性随着ix的增加而增加。如果这一条件得到满足，)(ixs将是ix的单调增函数。当然，若上述条件没有被满足，则在最优的激励计划中，报酬支付在产出上不是单调递增的，如在一阶随机占优条件下，单调似然比的特征并不一定成立。但激励方程中的似然比表明，最优激励方案的制定是与统计推断问题紧密相关的，而且最优激励方案实质上还是各种不同的产出水平所包含的信息内容的一个函数（通过似然比）。参考文献：[1]魏权龄等.数学规划引论[M].北京：北京航空航天大学出版社，1991.[2]瓦里安.微观经济学（高级教程）[M].北京：经济科学出版社，1997.[3]马斯-科莱尔等.微观经济理论[M].北京：中国社会科学出版社，2001.[4]Grossman,S.J.,andO.D.Hart.(1983).Analysisoftheprinciple-agentproblem.Econometrica51:7-45.[5]Holmstrom,B(1979).Moralhazardandobservability.BellJournalofEconomics10:74-91.作者简介：葛结根（1967——），男，安徽安庆人。工作单位：中南财经政法大学经济学院，经济学博士。研究方向：当代西方经济学。通讯地址：中南财经政法大学经济学院。邮政编码：430073电话：[e-mail]本文发表于《统计与决策》2004年第7期。5ApplicationsoftheKuhn-TuckerTheoreminMicroeconomicsGEJie-gen(CollegeofEconomics,ZhongnanUniversityofFinanceandEconomics,Wuhan430060,China)Abstract:Inmanyproblemsofeconomicsitisnecessarytouseinequalityconstraints,andtheKuhn-Tuckertheoreminmathematicalprogramisaappropriateformtosolvetheseproblems.TheKuhn-TuckertheoremdiscussesmainlytherelationsbetweenoriginalproblemandtheKuhn-Tuckerconditions,namelytherelationsbetweenoptimumsolutionoforiginalproblemandthepointssatisfytheKuhn-Tuckerconditions.ThispapertriestoillustrateapplicationoftheKuhn-Tuckertheoreminseveralimportantproblemsofmicroeconomics.Keywords:theKuhn-Tuckercondition;costminimization;Nashequilibrium;pr