离散型人寿保险与生存年金的方差计算

离散型人寿保险与生存年金的方差计算漆世雄1摘要：在保险精算的理论上，计算人寿保险与生存年金的趸缴净保费的方差，通常需要借助被保险人的死亡概率密度函数。但在实际应用过程中，被保险人的死亡概率密度函数很难获得。本文利用生命表编制计算方差的转换函数，再利用转换函数计算人身保险中人寿保险与生存年金的方差。关键词：人寿保险；生存年金；转换函数；期望值；方差一、引言众所周知，保险人开办人寿保险业务，必然要承担一定的风险。也就是说，保险人在收取保费的时刻，并不知道将来要支付的保险金是多少，因为投保人身保险的被保险人在保险期内是否死亡是随机的，所以保险公司将来要支付的保险金也就成为一个随机变量。衡量随机变量的波动幅度和稳定性的指标是方差或标准差。方差越大，也就表明保险公司将来支付保险金的波动幅度就越大；方差越小，则说明稳定性越好。因此，通过计算保险金的方差来了解保险人开办人身保险业务所承担的风险，对保险人来说是十分必要的。如果事先能获得被保险人的死亡概率密度函数，对于死亡即付的、终身寿险的保险金（称之为连续型寿险），计算方差时可采用以下公式：2200()()()ttTTVZvftdtvftdt但由于被保险人的死亡概率密度函数事先几乎不可能获得，所以以上公式很难在实际中被采用。由于这个原因，在保险精算的实际运用中，一般都是采用编制生命表的方法来计算净保费的。本文所讨论的内容，就是利用生命表来编制专门用于计算方差的转换函数，再通过转换函数计算离散型寿险和生存年金的方差。对于连续型寿险模型，只需要借助UDD②假设就可以了。而编制用于计算1作者简介：漆世雄（1958－），男，湖南人，浙江财经学院金融学院副教授，硕士。方差的转换函数和专门用于计算方差的软件，在计算机上利用办公软件是很容易实现的。二、人寿保险与生存年金的方差计算原理与模型（一）人寿保险方差计算原理与模型人寿保险又称之为死亡保险，它只提供一个确定时期的保障，把被保险人在保险期内的死亡作为保险金给付条件，若被保险人在保险期满依然存活，则没有保险金给付。对于一个（x）投保定期n年、死亡年末给付1单位元的投保人，保险公司收取的趸缴净保费为：1211:0nxxxnxnxnxxxxdddlAvvvllll（1）容易看出，以上公式的右边正是一个随机变量的数学期望。假设用T表示一个x岁的被保险人在签单之后的死亡时间，用Z表示保险人为这个投保人将来所支付的保险金的现值，对于投保n年定期寿险的被保险人，T与Z之间的关系为：TZv，0T；0Z，Tn当被保险人在签单后的（x，x+1）之内死亡时，在x+1的整数年给付1单位元，这1单位元在签单时（x岁）的现值为v；当被保险人在签单后的（x+1，x+2）之内死亡时，在x+2的整数年给付1单位元在签单时（x岁）的现值为2v；……；当被保险人在签单后的（x+n-1，x+n）之内死亡时，在x+n的整数年给付1单位元在签单时（x岁）的现值为nv；当被保险人的存活年龄超过x+n岁，就停止给付。将随机变量T和Z的取值及其相应的概率列表如下：T0≤T11≤T2……n-2≤Tn-1n-1≤TnT≥nZvv2……vn-1vn0pxxdl1xxdl……2xnxdl1xnxdlxnxll显然，以上的概率系列构成一个全概率空间：1211xxxnxnxnxxxxxddddllllll（2）所以有：1211:()0nxxxnxnxnxxxxdddlEZAvvvllll（3）因此，我们可以采用以下公式来计算Z的方差：22()()(())VZEZEZ（4）在计算1:()xnEZA时只需采用目前通用的方法就可以了，现在只需要计算出公式中2()EZ的值。为了保持符号的一致性，我们记：212:()xnAEZ1221222222111:0()()()()0()nntxxxnxnxtxntxxxxxdddldEZAvvvvlllll将分子和分母同乘2()xv：11221212122:001()()()()()nnxtxtxtxtxxxnttxxdEZAvvdvlvl（5）为了简化公式和方便计算，我们设置以下几个新的转换函数：22()xxxDvl，221()xxxCvd，222210xxtxxtMCCC以上公式就可以简化成：1122121222:00222222011()()()1nnxtxtxtxxnttxxxxnxtxtttnxxEZAvdCvlDMMCCDD（7）由此而计算出寿险的方差：2112::()()xnxnVZAA，或记做：2112::()()xnxnVarZAA（8）用同样的推导过程，我们还可以得到终身寿险和延期寿险趸缴净保费的方差：22()()xxVZAA（9）22()()xxnnVZAA（10）对于给定的死亡率，利用计算机软件，我们可以非常容易地制作以上这些转换函数计算表，例如，对于“中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”中给出的男女混合死亡率，利用计算机软件编制的用于计算方差的转换函数表如下：中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）换算表（男女混合，局部）利率：6%年龄（x）2Dx2Nx2Sx2Cx2Mx2Rx01000000.009007347.0681246738.352588.99969159.757069916.60791887407.448007347.0672239391.281592.21566570.757460756.85082788197.257119939.6264232044.221031.19434978.541854186.09343700461.556331742.3857112104.60694.47683947.347549207.55164622713.815631280.8350780362.22483.27383252.870745260.20415553729.805008567.0245149081.40345.95792769.596942007.33356492471.594454837.2240140514.38253.77452423.638939237.73667438044.193962365.6335685677.16190.64042169.864436814.09768389667.133524321.4431723311.53146.00381979.224034644.23329346656.353134654.3128198990.10115.38761833.220232665.009310308407.532787997.9525064335.7994.97061717.832630831.789111274386.642479590.4222276337.8482.78491622.862029113.956512244120.342205203.7919796747.4177.34681540.077127491.094513217188.891961083.4417591543.6376.54571462.730325951.017414193220.791743894.5515630460.1978.58841386.184624488.287015171887.231550673.7613886565.6380.92591307.596223102.102516152898.101378786.5312335891.8881.91941226.670321794.506317135996.841225888.4310957105.3581.09461144.750920567.836018120955.611089891.599731216.9277.93861063.656319423.085119107572.12968935.988641325.3372.9530985.717718359.42882095665.85861363.857672389.3566.2407912.764717373.71112185076.03765698.006811025.5059.3624846.524016460.94642275658.00680621.976045327.5052.5216787.161615614.42242367282.83604963.975364705.5345.9291734.640014827.26092459835.55537681.144759741.5640.0466688.710914092.62092553213.38477845.594222060.4234.9515648.664313403.9100（二）生存年金的方差计算原理与模型生存年金是指以年金保险的被保险人的生存为条件，在保险有效期内按照年金方式支付保险金的保险。与人寿保险相同，用T表示一个x岁的被保险人在签单之后的死亡时间，用Y表示保险人为这个投保人将来所支付的保险金的现值，对于投保期首给付、终身生存年金的被保险人，T与Y之间的关系为：TYa，0T将随机变量T和Y的取值及其相应的概率列表如下：T0≤T11≤T22≤T3……ω-1≤TωY1a2a3a……1apxxdl1xxdl2xxdl……1xdl表中的概率系列构成全概率空间。所以有：1121231001001()11(1)txxxxxxttttttxxxttttvEYaaqaqaqaqqdqvqAdd（11）2222212123102112(1)22200()()()()()111(12)(12)xxxxttttttxxxxttttEYaqaqaqaqvqvvqAAddd（12）所以：22222222111()()(())(12)(1)(())xxxxxVYEYEYAAAAAddd（13）对于每年期首末给付1单位元的n年定期生存年金，用同样的推导过程可以得到其方差的计算公式为：222::1()(())xnxnVYAAd（14）三、应用举例（一）寿险的方差计算对于一男一女两个被保险人同为30岁、投保20年定期死亡年末给付的寿险，试采用“中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”比较他们两人寿险的风险大小。首先利用计算机软件分别编制专用于计算方差的男性和女性转换函数表和计算方差的软件，然后分别计算他们的方差。应用公式（8），计算男性被保险人的趸缴净保费方差为：21122130:2030:20()()0.0118395-0.0217522327=0.011366VZAA应用公式（8），计算女性被保险人的趸缴净保费方差为：21122230:2030:20()()0.007081395-0.013087705=0.0069101VZAA计算结果表明，在相同寿险险种的情况下，女性被保险人的方差较小，说明保险人未来支付的保险金的稳定性较好，同时，收取的净保费相对较少。考虑到两者收取的净保费（期望值）不同，分别计算两者的标准差系数为：111()0.0113664.90117247()0.0217522327VZVEZ222()0.00691016.3515346()0.013087705VZVEZ从保险金的离散程度来看，男性被保险人的离散程度相对较小。如果将以上寿险调整为死亡时即付，即连续型寿险，在UDD假设下，计算结果为：21122130:2030:20()()0.01219125-0.02239846=0.01168956VZA