实验二怎样计算Pi

数学实验实验报告学院：数学与统计学院班级：数学与应用数学3班学号：201370010314姓名：康萍时间：2016.04.05实验二怎样计算一、实验目的分别用下列三种方法计算的近似值，并比较三种方法的精确度：数值积分法：通过使用Mathematica7.0编写梯形公式和辛普森公式的程序语言计算。泰勒级数法：利用反正切函数泰勒级数计算。蒙特卡罗（MonteCarlo）法：通过使用Mathematica7.0编写蒙特卡罗公式的程序语言来计算。二、实验环境基于Windows环境下的Mathematica7.0软件。三、实验的基本理论和方法1、数值积分法以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形，由曲线])1,0[(12xxy及两条坐标轴围成，它的面积4S。算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。而扇形面积S实际上就是定积分41102dxx。与有关的定积分有很多，比如211x的定积分411102dxx就比21x的定积分更容易计算，更适合于用来计算。一般地，要计算定积分dxxfba，也就是计算曲线xfy与直线bxaxy,,0所围成的曲边梯形G的面积S。为此，用一组平行于y轴的直线bxxxxxanixxnni1210,11将曲边梯形T分成n个小曲边梯形，总面积S分成这些小曲边梯形的面积之和。如果取n很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界iixxxxf1近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的看作梯形来求面积，就得到梯形公式。如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式。具体公式如下：梯形公式设分点11,,nxx将积分区间],[ba分成n等份，即ninabiaxi0,/。所有的曲边梯形的宽度都是nabh/。记iixfy则第i个曲边梯形的面积iS近似的等于梯形面积hyyii121。将所有这些梯形面积加起来就得到20121nnyyyyynbaS这就是梯形公式。辛普森公式仍用分点11ninabiaxi将区间ba,分成n等份，直线11nixxi将曲边梯形分成n个小曲边梯形。再做每个小区间iixx,1的中点nabiaxi2121。将第i个小曲边梯形的上边界iixxxxfy1近似的看作经过三点iiixxxxxfx,,,211的抛物线段，则可求得iiiiyyynabS21146其中2121iixfy，于是得到2123211210426nnnyyyyyyyynabS这就是辛普森公式。2、泰勒级数法利用反正切函数的泰勒级数12153arctan12153kxxxxxkk当x的绝对值小于1，最好是远小于1，这样，随着指数的增加，x的幂快速接近于0，泰勒级数就会很快收敛，比如，取21x得到的21arctan就收敛的快，在121321121121312121arctannnn中取6312n得到的21arctan的近似值的误差就小于6521，准确度度已经非常高了。我们并不知道21arctan是的多少倍，但是却能计算出21arctan与4相差多少。记4,21arctan，则312111211tan4tan1tan4tan4tantan因此31arctan，即31arctan21arctan4，从而得到31arctan21arctan4（1）31arctan比41arctan收敛得更快。利用泰勒级数计算出21arctan与31arctan的近似值再相加，然后再乘以4，就得到的近似值。还可以考虑用51arctan来计算，它收敛的更快。由51易算出1191204tan,1252tan2391119120111191204tan4tan14tan4tan44tan2391arctan44从而得到2391arctan51arctan42391arctan44即2391arctan451arctan16（2）称为Maqin公式，利用xarctan的泰勒展开式求出2391tan,51arctanrac的近似值，再代入Maqin公式就可以求出的近似值。由于是通过计算2391,51,31,21arctanxx等算出来的，只要计算这些xarctan的近似值到足够的精确度，就能保证所得到的的近似值到足够的精确度，我们是通过计算12131213nxxxxTnnn来得到xarctan的近似值的。当10x时，这个近似值的误差为12arctan12nxxTxenn3、蒙特卡罗（MonteCarlo）法在数值积分中，我们利用求单位圆面积的41来得到4，从而得到，单位圆的41是一个扇形G，它是边长为1的单位正方形1G的一部分，单位正方形1G的面积11S。只要能够求出扇形G的面积在正方形1G的面积1S中所占的比例1SSk，就能立即得到S，从而得到的值。为了求出扇形面积在正方形面积中所占的比例k，一个办法是在正方形中随机的投入很多点，使所投的每个点落在正方形每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投点的总数n的比nm可以看作k的近似值。而任何一种计算机语言都有这样的语言可以实现这样的随机点，能够产生在区间1,0内均匀分布的随机数。在Mathematica中，产生区间1,0内均匀分布的随机数的语句是Random[]产生两个这样的随机数x,y,则以（x,y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每个点的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件是122yx。这样利用随机数来解决问题的数学方法称为蒙特卡罗法。四、实验内容与步骤及得到的结果分析实验1数值积分计算1、实验内容分别取n=5000,n=6000,n=1000,用梯形公式和辛普森公式计算dxx10214的近似值，取20位有效数字，将所得的结果与进行比较。2、实验步骤在Mathematica中输入语句如下：3、实验结果4、结果分析三次实验结果所得的第一个数字是利用梯形公式计算出的，结果保留了20位有效数字，实验结果所得的第二个数字是利用辛普森公式计算出的，结果保留了30位有效数字，第三个结果是的前30位有效数字组成的近似值。而且随着n取值的增大，的精确度也随之不断增高。实验2泰勒级数法计算1、实验内容利用反正切函数的泰勒级数：12153arctan12153kxxxxxkk计算，分别将2391,51,31,21xxxx代入上面的级数，并分别对n取值为n=5000,n=20000,n=40000计算的值，观察所得的结果和所花的时间。2、实验步骤在Mathematica中输入语句如下3、实验结果4、结果分析在第一个实验结果中，0.469指的是所用的时间是0.469s，后面的数值指的是取20位近似值所得出的的近似值。后面的三个数值，第一个数值是将21x和31x代入所得的结果，结果保留了150位有效数字；第二个数值是将239151xx和代入所得的结果，结果保留了150位有效数字；第三个数值是的前150位有效数字组成的近似值。第二个实验比第一个实验所用时间少，为0.047s，第三个实验比前两个实验所用时间多，为1.672s。可见，随着n取值的增多，所用时间会随着增多，同时的精确度也会随之增高。而且，通过对比数值积分法与泰勒级数法的计算结果，我们发现，当n的取值相同时，相对于泰勒级数法而言，数值积分法的精确度较高。实验3蒙特卡罗法计算1、实验内容取10000n，n=5000,n=20000利用随机投点的方法来计算的值。2、实验步骤在Mathematica中输入语句如下：3、实验结果3、结果分析每次投10000个点得出的一个近似值存放在数组P中，一共做10次得到10个近似值，最后通过print[p]语句将其全部输出得到:3.1264,3.156,3.1376,3.1616,3.1312,3.134,3.1624,3.1616,3.144,3.1448.最后求出这10个近似值的平均值，相当于随机投点10000次得到的近似值，即3.14596。第二个积第三个实验结果原理与第一个相同，通过对比，我们发现，随着n取值的增大，的精确度也越来越高。四三种计算方法的比较通过上面的实验，我们发现：当n=10000时精度很低，取更大的n，精确度会更高一些。但总的来说，蒙特卡罗法的精确度比数值积分和泰勒级数法低，基于此，我们依然用蒙特卡罗法是因为：假如不是求一个扇形的面积，而是求100个已知圆)1001(:222irbyaxGiiii的公共部分G的面积时，要确定公共部分G的边界将是一个很困难的问题，此时很难用定积分或数值积分计算，但用蒙特卡罗法就没有多大困难，仍然可以用一个正方形或长发形Q将图形G包含在内，仍然可以通过产生随机数在Q内随机投点P（x,y），通过判断P（x,y）是否落在iG内，也就是判断222iiirbyax是否成立，如果P落在每一个圆iG的内部，那么它就落在所有这些圆的公共部分G的内部，而让计算机做100次乃至1000次，10000次这样的判断都是轻而易举的事情。因此，蒙特卡罗法在很多场合下，特别是对精确度要求不太高的情况下是大有用武之地的。五、附录另一种用蒙特卡罗法来计算的方法是1777年法国数学家蒲丰（Buffon）t提出的随机掷针实验。其步骤如下：（1）取一张白纸，在上面画很多间距为d的等距平行线；（2）取一根长度为dll的均匀直针，随机地向画有平行线的纸上掷去，一共投掷n次（n是一个很大的整数），观察针和直线相交的次数m；（3）由分析知道针和直线相交的概率dlp/2,取m/n为p的近似值，则mdnl2特别取针的长度2/dl时，mn/。六、心得体会通过本次实验，在通过初步了解梯形公式，辛普森公式及泰勒级数的基本理论之后，通过使用Mathmatia编程，在计算出结果并从多角度对其进行分析其计算结果之后，我们深刻的感受到了不同的方法的精妙之处，如，在计算值时，数值积分法与泰勒级数法相对于蒙特卡罗法而言，其精确度更高，但是，当不单单是计算一个扇形的面积，而是求很多圆的公共部分面积时，确定公共部分G的边界就会变得很困难，但这时候若是选择蒙特卡罗法的话，就会显得很简单，因为在计算机上进行无论多少次的投点实验是一件很容易的事，可见，每种实验方法都有他的优点，在不同的情况下选择选择不同的实验方法，会节省我们更多地时间，使得在解决问题更简单方便。