实验二线性连续定常系统的运动分析

实验二线性连续定常系统的运动分析一、实验目的1．掌握线性连续定常系统的状态转移矩阵的求法，学会用MATLAB求解状态转移矩阵。2．掌握线性连续定常系统的状态方程的求解方法，学会用MATLAB求解线性连续定常系统的时间响应，并绘制相应的状态响应曲线和输出响应曲线。二、实验原理1．线性连续定常系统状态转移矩阵的计算设线性连续定常系统的状态空间表达式为xAxBuyCxDu，则其状态转移矩阵为()tteAΦ从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。对于线性连续定常系统，其状态转移矩阵与其矩阵指数函数相同，可利用直接求解法、拉氏变换法、标准型法和待定系数法等方法对其进行求解。（1）直接求解法220111()!2!!tkkkkktettttkkAAIAAAΦ（2）拉氏变换法11()tteLsAIAΦ（3）标准型法对系统矩阵A进行线性非奇异变换，将其变换为对角线矩阵或约旦矩阵1APAP，其中P为非奇异变换阵。状态转移矩阵为1()ttteeAAPPΦ，其中1APAP若A的特征值12,,,n两两互异，则A为对角线矩阵，此时1110()0ntttteteeeAAPPPPΦ若A有n重特征值i，则A为约旦矩阵，此时1111(1)!0()00iiiiitttnttttetetenteeteeAAQQQQΦ（4）待定系数法根据凯莱－哈密顿（以下简称C-H）定理，线性连续定常系统的状态转移矩阵为110110()()()()()ntjnjnjteatatatatAAIAAΦ其中，011(),(),,()natatat为t的标量函数，可按A的特征值确定。若A的特征值12,,,n两两互异，则121210111211222211()1()1()1nntntntnnnnateateate若A有n重特征值i，则1111111(1)!02111(2)!2112111!1!211111()0001()001(1)()012()1tnntnnnntnntnteatatnteatteate2．线性连续定常系统的时间响应设线性连续定常系统的状态空间表达式为xAxBuyCxDu，满足初始条件0()(0)ttxx则其状态方程的解（状态响应）为0()()(0)()()ttttdxxBuΦΦ（直接求解法）111()(0)()tLsssxIAxIABU（拉氏变换法）其输出方程的解（输出响应）为0()()(0)()()()ttttdtyCxCBuDuΦΦ或111()(0)()()tLssstyCIAxCIABUDu3．MATLAB相关函数命令简介（1）矩阵指数函数expm()phi=expm(A*t)：返回常矩阵A的矩阵指数函数teA，其中phi的维数和矩阵A的维数相同。（2）拉氏逆变换ilaplace()g=ilaplace(G)：返回函数G(s)的拉氏逆变换g(t)，即1ftLGs（3）任意输入下系统响应lsim()[y,x]=lsim(sys,u,t,x0)：直接求取线性系统在任意输入信号下的响应，其中sys为线性系统模型，u为与时间向量t对应的输入向量，y表示输出响应y(t)，x表示状态响应x(t)。（4）单位阶跃响应step()[y,t,x]=step(sys)：返回系统在零状态条件下的单位阶跃响应，其中y表示单位阶跃输出响应y(t)，x表示单位阶跃状态响应y(t)；step(sys)：此时不返回任何变量，而自动地绘制单位阶跃响应输出曲线。相关响应函数：脉冲响应函数impulse()，零输入响应函数initial()（5）二维图像绘制plot()plot(x,y)：绘制y=y(x)函数的二维图形，其中x和y具有相同维数的列向量或行向量。三、实验内容1．状态转移矩阵的计算（1）已知某线性连续定常系统的系统矩阵为0165Aa．根据直接求解法（expm函数）和拉氏变换法（ilaplace函数）分别求解该系统的状态转移矩阵，并比较这2种方法获得的状态转移矩阵是否相同；b．计算0.3st时的状态转移矩阵的值。2．线性连续定常系统的状态响应和输出响应（1）已知某线性连续定常系统的状态空间表达式为01223012uyxxx，其中100x，0tuteta．利用ilaplace()函数求解该系统的状态响应()tx和输出响应()yt的解析解；b．利用lsim()函数计算010st该系统的状态响应()tx和输出响应()yt的数值解；c．根据状态响应()tx和输出响应()yt的数值解结果，利用plot()函数绘制其状态响应曲线和输出响应曲线。（2）已知某线性连续定常系统的状态方程为01023112uyxxx，其中初始状态201x,利用step()函数求解单位阶跃函数输入时系统的状态响应()tx，并绘制该状态响应曲线。