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实验五解线性方程组的迭代法一、问题提出对实验四所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR方法计算其解。二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；2、分别对不同精度要求，如34510,10,10由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子ω=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；4、给出各种算法的设计程序和计算结果。三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；3、体会上机计算时，终止步骤(1)kkxx或k（给予的迭代次数），对迭代法敛散性的意义；4、体会初始解0x，松弛因子的选取，对计算结果的影响。四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果．解：J迭代算法：程序设计流程图：源程序代码：#includestdlib.h#includestdio.h#includemath.hvoidmain(){floata[50][51],x1[50],x2[50],temp=0,fnum=0;inti,j,m,n,e,bk=0;printf(使用Jacobi迭代法求解方程组:\n);printf(输入方程组的元：\nn=);scanf(%d,&n);for(i=1;in+1;i++)x1[i]=0;printf(输入方程组的系数矩阵:\n);for(i=1;in+1;i++){j=1;while(jn+1){scanf(%f,&a[i][j]);j++;}}printf(输入方程组的常数项:\n);for(i=1;in+1;i++){scanf(%f,&a[i][n+1]);}printf(\n);printf(请输入迭代次数:\n);scanf(%d,&m);printf(请输入迭代精度:\n);scanf(%d,&e);while(m!=0){for(i=1;in+1;i++){for(j=1;jn+1;j++){if(j!=i)temp=a[i][j]*x1[j]+temp;}x2[i]=(a[i][n+1]-temp)/a[i][i];temp=0;}for(i=1;in+1;i++){fnum=float(fabs(x1[i]-x2[i]));if(fnumtemp)temp=fnum;}if(temp=pow(10,-4))bk=1;for(i=1;in+1;i++)x1[i]=x2[i];m--;}printf(原方程组的解为:\n);for(i=1;in+1;i++){if((x1[i]-x2[i])=e||(x2[i]-x1[i])=e){printf(x%d=%7.4f,i,x1[i]);}}}运行结果：GS迭代算法：#includeiostream.h#includemath.h#includestdio.hconstintm=11;voidmain(){intchoice=1;while(choice==1){doublea[m][m],b[m],e,x[m],y[m],w,se,max;intn,i,j,N,k;coutGauss-Seidol迭代法endl;cout请输入方程的个数：;cinn;for(i=1;i=n;i++){cout请输入第i个方程的各项系数：;for(j=1;j=n;j++)cina[i][j];}cout请输入各个方程等号右边的常数项:\n;for(i=1;i=n;i++){cinb[i];}cout请输入最大迭代次数：;cinN;cout请输入最大偏差：;cine;for(i=1;i=n;i++){x[i]=0;y[i]=x[i];}k=0;while(k!=N){k++;for(i=1;i=n;i++){w=0;for(j=1;j=n;j++){if(j!=i)w=w+a[i][j]*y[j];}y[i]=(b[i]-w)/double(a[i][i]);}max=fabs(x[1]-y[1]);for(i=1;i=n;i++){se=fabs(x[i]-y[i]);if(semax)max=se;}if(maxe){coutendl;for(i=1;i=n;i++)coutxi=y[i]endl;break;}for(i=1;i=n;i++){x[i]=y[i];}}if(k==N)cout迭代失败！！endl;choice=0;}}SOR方法：#includestdio.h#includemath.h#includestdlib.h/**********定义全局变量**********/float**a;/*存放A矩阵*/float*b;/*存放b矩阵*/float*x;/*存放x矩阵*/floatp;/*精确度*/floatw;/*松弛因子*/intn;/*未知数个数*/intc;/*最大迭代次数*/intk=1;/*实际迭代次数*//**********SOR迭代法**********/voidSOR(floatxk[]){inti,j;floatt=0.0;floattt=0.0;float*xl;xl=(float*)malloc(sizeof(float)*(n+1));for(i=1;in+1;i++){t=0.0;tt=0.0;for(j=1;ji;j++)t=t+a[i][j]*xl[j];for(j=i;jn+1;j++)tt=tt+a[i][j]*xk[j];xl[i]=xk[i]+w*(b[i]-t-tt)/a[i][i];}t=0.0;for(i=1;in+1;i++){tt=fabs(xl[i]-xk[i]);tt=tt*tt;t+=tt;}t=sqrt(t);for(i=1;in+1;i++)xk[i]=xl[i];if(k+1c){if(t=p)printf(\nReachthegivenprecision!\n);elseprintf(\noverthemaximalcount!\n);printf(\nCountnumberis%d\n,k);}elseif(tp){k++;SOR(xk);}else{printf(\nReachthegivenprecision!\n);printf(\nCountnumberis%d\n,k);}}/**********程序*****开始**********/voidmain(){inti,j;printf(SOR方法\n);printf(请输入方程个数:\n);scanf(%d,&n);a=(float**)malloc(sizeof(float)*(n+1));for(i=0;in+1;i++)a[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(n+1));printf(请输入三对角矩阵:\n);for(i=1;in+1;i++)for(j=1;jn+1;j++)scanf(%f,&a[i][j]);for(i=1;in+1;i++)for(j=1;jn;j++)b=(float*)malloc(sizeof(float)*(n+1));printf(请输入等号右边的值:\n);for(i=1;in+1;i++)scanf(%f,&b[i]);x=(float*)malloc(sizeof(float)*(n+1));printf(请输入初始的x:);for(i=1;in+1;i++)scanf(%f,&x[i]);printf(请输入精确度:);scanf(%f,&p);printf(请输入迭代次数:);scanf(%d,&c);printf(请输入w(0w2):\n);scanf(%f,&w);SOR(x);printf(方程的结果为:\n);for(i=1;in+1;i++)printf(x[%d]=%f\n,i,x[i]);}程序运行结果讨论和分析：①迭代法具有需要计算机的存贮单元较少,程序设计简单,原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点.②迭代法在收敛性及收敛速度等方面存在问题.[注:A必须满足一定的条件下才能运用以下三种迭代法之一.在Jacobi中不用产生的新数据信息,每次都要计算一次矩阵与向量的乘法,而在Gauss利用新产生的信息数据来计算矩阵与向量的乘法.在SOR中必须选择一个最佳的松弛因子,才能使收敛加速.]经过计算可知Gauss-Seidel方法比Jacobi方法剩点计算量,也是Jacobi方法的改进.可是精确度底,计算量高,费时间,需要改进.SOR是进一步改进Gauss-Seidel而得到的比Jacobi,Gauss-Seidel方法收敛速度快,综合性强.改变松弛因子的取值范围来可以得到Jacobi,Gauss-Seidel方法.③选择一个适当的松弛因子是关键.结论：线性方程组1和2对于Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法均不收敛，线性方程组3收敛。