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实验六小波分析、遗传算法1.小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓，二者相辅相成，试对小波分析和傅立叶变换进行比较。答：小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关，他的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的，两者主要的不同点:傅立叶变换实质是把能量有限信号f(t)分解到以{exp(jωt)}为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到W-j和V-j所构成的空间上去的;傅立叶变换用到的基本函数只有sin(ωt),cos(ωt),exp(jωt)，具有唯一性；小波分析用到的函数（即小波函数）则具有多样性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析运用到实际中的一个难点问题（也是小波分析研究的一个热点问题），目前往往是通过经验或不断地试验（对结果进行对照分析）来选择小波函数;在频域分析中，傅立叶变换具有良好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sin(ω1t)+0.345sin(ω2t)+4.23cos(ω3t)，但在时域中傅立叶变换没有局部化能力，即无法从f(t)的傅立叶变换中看出f(t)在任一时间点附近的性态。事实上，F(w)dw是关于频率为w的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由f(t)的整体性态所决定的;在小波分析中，尺度a的值越大相当于傅立叶变换中w的值越小;在短时傅立叶变换中，变换系数S(ω，τ)主要依赖于信号在[τ-δ，τ+δ]片段中的情况，时间宽度是2δ（因为δ是由窗函数g(t)唯一确定的，所以2δ是一个定值）。在小波变换中，变换系数Wf（a,b）主要依赖于信号在[b-aΔφ，b+aΔφ）片断中的情况，时间宽度是2aΔφ，该时间的宽度是随尺度a变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力;若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不容之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽Δf与中心频率f无关；相反小波变换带通滤波器的带宽Δf则正比于中心频率f。2.简述小波理论的发展，并结合你所研究的领域，对小波理论在该领域的应用及发展进行综述。答：1807年，Fourier提出傅里叶分析，1822年发表“热传导解析理论”论文；1910年Haar提出最简单的小波；1980，年Morlet首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探；1985年，Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮；1988年，Mallat提出的多分辨分析理论（MRA）；Coifman,Meyer等人在1989年引入了小波包的概念。基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1990年构造出来。1992年A.Cohen,I.Daubechhies等人构造出了紧支撑双正交小波基近年来，一种简明有效的构造小波基的方法--提升方案(LiftingScheme)得到很大的发展和重视，利用提升方案构造的小波被认为是第二代小波。Goodman,Lebrun等人提出的多小波(Multi-wavelet)理论,Candes和Donoho等提出的脊小波(Ridgelet)和曲小波(Curvelet)理论,等等。3.基于MATLAB，请自行选择一个一维信号，采用DB3小波函数，进行3尺度的分解与重构。要求（1）附上源程序；（2）绘出原始信号以及分解、重构的结果图。答：源程序：%装载leleccum信号loadleleccum;s=leleccum(1:3920);%用小波函数db1对信号进行单尺度小波分解[cA1,cD1]=dwt(s,'db1');subplot(3,3,1);plot(s);title('leleccum原始信号');%单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号A1=upcoef('a',cA1,'db1');%单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号D1=upcoef('a',cD1,'db1');subplot(3,3,4);plot(A1);title('单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号');subplot(3,3,7);plot(D1);title('单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号');%用小波函数db2对信号进行单尺度小波分解[cA2,cD2]=dwt(s,'db2');subplot(3,3,2);plot(s);title('leleccum原始信号');%单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号A2=upcoef('a',cA1,'db2');%单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号D2=upcoef('a',cD1,'db2');subplot(3,3,5);plot(A2);title('单尺度低频系数cA2向上一步的重构信号');subplot(3,3,8);plot(D2);title('用小波函数db3对信号进行单尺度小波分解');%用小波函数db3对信号进行单尺度小波分解[cA3,cD3]=dwt(s,'db3');subplot(3,3,3);plot(s);title('leleccum原始信号');%单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号A3=upcoef('a',cA1,'db3');%单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号D3=upcoef('a',cD1,'db3');subplot(3,3,6);plot(A3);title('单尺度低频系数cA3向上一步的重构信号');subplot(3,3,9);plot(D3);title('单尺度高频系数cD3向上一步的重构信号');原始信号以及分解、重构的结果图：4.利用遗传算法求Schaffer函数的最大值点：程序：functiony=fitnesssliusgi(x)y=-0.5+((sin(sqrt(x(1)^2+x(2)))^2)^2-0.5)/(1.0+0.001*(x(1)^2+x(2)^2))^2;ObjectiveFunction=@fitnesssliusgi;nvars=2;%变量的个数LB=[-5-5];%变量的下限UB=[55];%变量下限[x,fval]=ga(ObjectiveFunction,nvars,[],[],[],[],LB,UB)仿真结果为：x=1.0e-05*0.27570.0204fval=-1.0000所以当x(1)=0.2757,x(2)=0.0204时，求得函数最大值为1。5.利用遗传算法求解：程序：functionf=simple_fit(x)f=2*(x(1)^2)+2*(x(2)^2)-2*(x(1))*(x(2))-4*x(1)-6*(x(2));function[c,cep]=constraint(x)c=[x(1)+5*(x(2))-5;2*(x(1))^2-x(2)];cep=[];ObjectiveFunction=@simple_fit;nvars=2;%变量的个数LB=[00];%变量下限ConstraintFunction=@constraint;[x,fval]=ga(ObjectiveFunction,nvars,[],[],[],[],LB,[],ConstraintFunction)仿真结果：x=0.65890.8682fval=-6.6131所以当x(1)=0.6589,x(2)=0.8682时，求得最小值-6.6131。