实验设计与统计方差分析

第六章方差分析第一节方差分析的基本原理不同保鲜方法下低温切片火腿的货架期（天）保鲜方法货架期总和Ti平均均方Si2A1A2A3A4A525.627.827.029.020.624.427.027.727.321.225.027.027.527.522.025.928.025.929.921.2100.9109.8108.1113.785.025.227.527.028.421.30.4430.2770.6491.5430.330T=517.5iy例.有五种低温切片火腿的保鲜方法，每种方法做4次试验，各得4个观测值，结果如下，试分析不同保鲜方法有无差异？就是将总变异剖分为各个变异来源的相应部分，从而发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一种统计分析方法。将试验处理的表面效应与其误差进行比较，进而作出统计推断。采用均方来度量试验处理产生的变异和误差引起的变异。方差分析是科学的试验设计和分析中的一个十分重要的工具。方差分析(analysisofvariance)一、自由度和平方和的分解方差是平方和除以自由度的商。要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先必须将总自由度和总平方和分解为各个变异来源的相应部分。因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。简单模型…………y1ny2n...yin...yknS12S22...Si2...Sk2均方......平均T1T2...Ti...TK总和……………………………y1jy2j...yij...ykj……………………………y12y22...yi2...yk2y11y21...yi1...yk1观察值(yij，i=1,2,…,k;j=1,2,…,n)T=∑yij=∑y12...i...k组别表6.1每组具n个观察值的k组数据的符号表y1ny2n...yin...yknS12S22...Si2...Sk2均方......平均T1T2...Ti...TK总和……………………………y1jy2j...yij...ykj……………………………y12y22...yi2...yk2y11y21...yi1...yk1观察值(yij，i=1,2,…,k;j=1,2,…,n)T=∑yij=∑y12...i...k组别表6.1每组具n个观察值的k组数据的符号表1y2yiykyy组间变异组内变异总变异总变异是nk个观测值的变异,故其自由度ν=nk-1，而其平方和SST则为：(6.1)C-y)y-(ySSnk1nk12ij2ijTC称为矫正数：总变异(6.2)nkTnk)y(C22对于第i组的变异，有n1j2i2iijn1jn1jn1j2iiiij2iijn1jn1j2iiij2ij)y-yn()y-(y)y-y()y-y)(y-2(y)y-(y)y-yy-(y)y-(y总变异为第1，2，…，k组的变异相加，利用上式总变异可以剖分为:k1in1jk1in1jk1i2i2iij2ijT(6.3))y-y(n)y-(y)y-(ySS总平方和SST=组内(误差)平方和SSe+处理平方和SSt即:组间变异由k个的变异引起，故其自由度ν＝k-1，组间平方和SSt为：iy(6.4)C-)/nT()y-y(nSSk1k12i2it组内变异为各组内观测值与组平均数的变异，故每组具有自由度v=n-1和平方和；而资料共有k组，故组内自由度v=k(n-1),组内平方和SSe为：n12iij)y-(y(6.5)SS-SS])y-(y[SStTk1n12iije因此，总自由度可分解为：(nk-1)=(k-1)+k(n-1)总自由度DFT=组间自由度DFt+组内自由度DFe即:●组内变异：各组内观察值yij与组平均数的变异组内自由度：DFe=k(n-1)组内平方和：●组间变异：k个之间的变异组间自由度：DFt=k-1组间平方和：CninkktTSS1212yyitTn12iijk1SS-SS])y-(y[SSeiyiy●总变异：整个试验的每个观察值yij与总平均数的变异总自由度：DFT=kn-1总平方和：yC-y)y-(ySSnk1nk12ij2ijT1)()(1)(1)(nkyysMSkyynsMSnkyysMSiijeeittijTT222222组内均方组间的均方总的均方求得各变异来源的自由度和平方和后，进而可得其相应均方：总自由度的剖分：总变异自由度:DFT=(nk-1)=(45)-1=19方法间自由度:DFt=(k-1)=5-1=4方法内自由度:DFe=k(n-1)=5(4-1)=15方法货架期总和Ti平均均方Si2A1A2A3A4A525.627.827.029.020.624.427.027.727.321.225.027.027.527.522.025.928.025.929.921.2100.9109.8108.1113.785.025.227.527.028.421.30.4430.2770.6491.5430.330T=517.5iy不同保鲜方法下低温切片火腿的货架期（天）例.有五种低温切片火腿的保鲜方法，每种方法做4次试验，各得4个观测值，结果如下，试分析不同保鲜方法有无差异？13390.31255517.5nkTC242138.197513390.3125-13528.5100C)1.24.4(25.6CySS2ijT22222128.475013390.3125-)85.0...109.800.941C-yn1SS2i.t222(19.7225128.4750138.1975SSSSnTy)yy(SStTk1n1nk1k12i2ij2iije总平方和的剖分:12003214128.475/DFSSsMStt2tt./273679138.1975/DFSSsMSTT2TT./165000159.7225/DFSSsMSee2ee./进而可得均方：以上处理内均方Se2=0.65是5种防腐方法内随机变异的合并均方值，试验误差估计；处理间均方St2=32.12，则是不同防腐效果的变异。2221)(ssF21，二、F分布与F检验在一个平均数为μ、方差为σ2的正态总体中，随机抽取两个独立样本，分别求得其均方S12和S22，将S12和S22的比值定义为F：此F值具有S12的自由度ν1和S22的自由度ν2。如果在给定的ν1和ν2下按上述方法从正态总体中进行抽样，就可得到一系列的F值而作成一个分布，即F分布。F分布乃具有平均数μF=1和取值区间为[0,∞）的一组曲线；而某一特定曲线的形状则仅决定于参数ν1和ν2。在ν1=1或ν2=2时，F分布曲线是严重倾斜成反向J型；当≥3时，曲线转为偏态。统计理论的研究证明图F分布曲线(随ν1和ν2的不同而不同)0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.00.00.20.40.60.81.0Ff(F)ν1=5,ν2=4ν1=2,ν2=5ν1=1,ν2=5所得F≥F0.05或≥F0.01，则H0发生的概率小于等于0.05或0.01，应该在α=0.05或α=0.01水平上否定H0，接受HA；若所得F＜F0.05或F＜F0.01，则H0发生的概率大于0.05或0.01，应接受H0。差项）的均方另一项变异（如试验误素的均方要测验的那一项变异因F在方差分析中，F检验可用于检测某项变异因素的效应或方差是否真实存在。在此检验中，如果作分子的均方小于作分母的均方，则F＜1；此时不必查F表即可确定P＞0.05，应接受H0。注意！当资料不符合这两个条件时，需作适当转换。●F检验需具备两个条件(1)变数y遵循正态分布N(μ,σ2)；(2)S12和S22彼此独立。对一组处理的重复试验数据进行总平方和与总自由度的分解，估计出处理间均方和处理内均方(误差均方)，并通过F=MSt/MSe检验处理间的差异是否真实(比误差大)，这一方法即为方差分析法。方差分析法这里所检验的统计假设是H0:σt2≤σe2或μA=μB=μC=μD,对HA:σt2σe2或μA、μB、μC和μD间存在差异(不一定μA、μB、μC和μD间均不等，可能部分不等)。保鲜方法对货架期影响的方差分析表变异来源DFSSMSF显著F值保鲜方法间保鲜处理内(误差)415128.47509.722532.120.6549.42**F0.05(4,15)=3.09F0.01(4,15)=4.89总变异19138.1975分析结果可以归纳在一起，列出方差分析表。第六章方差分析第二节多重比较第六章方差分析一、最小显著差数法二、q法三、新复极差法四、多重比较结果的表示方法五、多重比较方法的选择有些试验，完成方差分析，了解到一组处理间总体上有无实质性差异，就告一段落了。但有些实验，还要进一步了解哪些处理间存在真实差异，故需要进一步做处理平均数间的比较。一个试验中k个处理平均数间可能有k(k-1)/2个比较,因而这种比较是复式比较,亦称为多重比较。多重比较(multiplecomparisons）通过方差分析后进行平均数间的多重比较，不同于处理间两两单独比较，因为：注意！误差由多个处理内的变异合并估计，自由度增大了，因而比较的精确度也增大了；由F检验显著，证实处理间总体上有真实差异后再做两两平均数的比较，不大会像单独比较时那样将个别偶然性的差异误判为真实差异。这种在F检验基础上再做的平均数间多重比较称为Fisher氏保护下的多重比较(Fisher’sprotectedmultiplecomparisons)。在无F检验保护时，4个处理做两两比较，每一比较的显著水平α=0.05，4个处理间有6个比较，若处理间总体上无差异，每一比较误判为有差异的概率为0.05，则6个比较中至少有1个被误判的概率为α/=1-0.956=0.2649。若处理数k=10，则α/=1-0.9545=0.9006，因而尽管单个比较的显著水平为0.05，但从试验总体上α/(至少有1个误判的概率)是很大的，这说明通过F检验作保护是非常必要多重比较有多种方法，常用的三种：最小显著差数法(LSD法)复极差法(q法)新复极差法(SSR法)一、最小显著差数法(leastsignificantdifference,LSD)最小显著差数法又简称LSD法，实质上是第五章的t检验。任何两个平均数的差数()，如其绝对值≥LSDα，即为在α水平上差异显著；其程序是：在处理间的F检验为显著的前提下，计算出显著水平为α的最小显著差数LSDα；反之，则为在α水平上差异不显著。这种方法又称为F检验保护下的最小显著差数法(Fisher’sProtectedLSD，或FPLSD)。jiy-yj)ik;1,2,...,j(i,yyjiy-yjist(5.9)stLSDjiy-y已知：若|t|≥tα，在α水平上显著。最小显著差数为：jiy-y当两样本的容量n相等时，/n2SS2ey-yji在方差分析中，上式的Se2有了更精确的数值MSe(因为此自由度增大):(5.10)/n2MSSey-yji570046502n2Ss2eyyji..[例]试以LSD法检验上例中各种保鲜方法间的差异。上例中F=49.42为显著，MSe=0.65，DFe=15，故:由附表4，ν=15时，t0.05=2.131，t0.01=2.947故:LSD0.05=2.131×0.57=1.21；LSD0.01=2.947×0.57=1.68[例]试以LSD法检验表6.1资料各种保鲜方法效果比较。LSD0.05=2.131×0.57=1.21；LSD0.01=2.947×0.57=1.685种保鲜方法效果比较表(LSD法)7.1**6.2**5.7**3.9**3.2**2.3**1