第5章衍生金融工具的风险分析(2)欧式期权(金融工程与

金融工程与风险管理第5章衍生金融工具的风险分析（2）：欧式期权5.1B-S模型的理论基础弱式有效市场与马尔可夫过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说（EMH），该假说认为:前提：投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬。推论：证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息。只有新信息才能引起价格的变动，而新信息是不可预测的，故价格的变化不可预测。价格变化（回报）不可预测，等价于回报是相互独立的。cov(,)0,tsrrtsEMH根据市场对信息集包含的信息进行分类：弱式、半强式和强式弱式有效市场：市场价格已经包含了历史上所有的交易信息（价格和交易数量等）。EMH与可用马尔可夫过程（MarkovStochasticProcess）如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有“无后效性”，其未来价格的概率分布与历史无关。衍生资产的定价问题的关键：标的资产的波动的假设。B-S模型假设：资产价格的波动服从几何布朗运动，它是一种特殊的马尔可夫过程。5.2维纳过程根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性（不可预测性），这种特性可以采用Wienerprocess，它是Markovstochasticprocess的一种。对于随机变量w是Wienerprocess，必须具有两个条件：1.在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段Δt满足ttwt（5.1）1,(0,1)tttt这里，2.在两个不重叠的时段Δt和Δs,Δwt和Δws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！1111,tttsssttss其中，cov(,)0tsww（5.2）有效市场满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有()0,()ttEwDwt当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻到未来的T时刻）随机变量ΔwT的满足00()()0()()TTTTEwEwwDwDwwT证明：01111111,()()()0()1()()NTTiiiiiiNNTiiiiNNTiiiiiNTii又若Δt→0，由（5.1）和（5.2）得到cov(,)0tttsdwdtdwdw（5.3）（5.4）所以，的分布性质为~(0,)()0,()tttdwNdtEdwDdwdttdw以上得到的随机过程，称为维纳过程。程序：维纳过程的模拟%假设初始点为0，由标准正态分布产生随机数300个，这样将1个单位时间等分为300个等分rnd=random('norm',0,1,300,1);%建立初始的零向量，用来放置计算的结果w=zeros(1,300);fori=1:299w(i+1)=w(i)+rnd(i+1)*(1/300)^0.5;endx=[1:1:300];wplot(x,w)1,~(0,1)ttttwwtiidNB-S模型证明思路ITO引理2221()2ffffdfabdtbdwtxxxITO过程(,)(,)ttdxaxtdtbxtdwB-S微分方程222212fffrssrftss抖?+s=抖?＋B-S买权定价公式12()()rtCSNdKeNd5.3伊藤引理一般维纳过程(GeneralizedWienerprocess)可表示为~(0,)tttdxadtbdwdwNdt其中，（5.5）22~(,)(),()tttdxNadtbdtEdxadtDdxbdt显然，一般维纳过程的性质为一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当ttdxadtbdw(,)(,)ttdxaxtdtbxtdw若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程B-S期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何布朗运动来代表股价的波动，不妨令ttttdssdtsdw,(,),(,)ttttttsxastsbsts省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程()dsrtdtdws（5.6）目的：证券的预期回报与其初始价格无关。思考：一般维纳过程的缺陷ttdsdtdw若将价格变化表示为111111()tttttttttttttssdssdtdwssdtdwrssdtErs伊藤引理：若某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标t）(,)(,)dxaxtdtbxtdw（令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产x的衍生证券的价格）则f(x,t)的变动过程可以表示为2221()2,(,),(,),(,)ffffdfabdtbdwtxxxhereffxtaaxtbbxt（5.7）证明：将（5.7）离散化(,)(,)xaxttbxtwwt由（5.1）知利用泰勒展开，忽略高阶项，Δf(x,t)可以展开为222222211(,)22fffffxttxxttxxtfxtxt（5.8）32200limlim0ttxtatbt因此，（5.8）可以改写为（5.9）22201lim2tfffftxxtxx保留1阶项，忽略1阶以上的高阶项2200322222022limlim[]lim2tttxatbtatbtabtbt200,tt且当时，有从而22222200lim()lim[]()0ttDxbtD即Δx2不呈现随机波动！（5.10）22222()()()ExEbtbtE由（5.10）可得22(0,1),()[(0)]()1NDEE由于则22()Exbt（5.11）由（5.11）得到（5.12）由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即22xbt22212fffdfdtdxdxtxx2221()2fffdtadtbdwbdttxx当Δt→0时，由（5.9）可得2221()2ffffabdtbdwtxxx■,tttdSdtdwSsSdSSdtSdw命题：设当前时刻为t，若股票价格服从几何布朗运动则T时刻股票价格满足对数正态分布22ln~[ln(/2),],,[0,]TsNSTttT5.4几何布朗运动与对数正态分布()lnggSS22211,,0gggSSSSt令则这样由ITO引理得到21()2dtdw2221(())2ggggdgSSdtSdwtSSS(,)aSbS21(ln)()2dSdtdw即21(ln)()2TTttdSdtdw21lnln()()2TTtsSww由（5.1）Ttww21lnln()2TSS~(0,1)iidN22ln~[ln(/2),]TSNS21()exp[()][exp()]2TESSE[exp()]exp[()]EE注意：22ln~[ln(/2),]TSNS由于则称ST服从对数正态分布，ST的期望值为2[exp()]exp(/2)E()exp()TESS所以5.5B-S模型的推导Black、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Merton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型基本假设8个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。标的股票不支付红利期权为欧式期权无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运动dsdtdwdssdtsdwsw其中，代表维纳过程5.5.1B-S微分方程dssdtsdw假设标的资产价格变动过程满足这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证券的价格，则f(s,t)的价格变动过程可由ITO引理近似为22221()2ffffdfssdtsdwtsss22221()2fffffsstswtsss假设某投资者以1个单位的衍生证券空头和δ份的标的资产多头来构造一个组合，且δ满足ffsfss¶?-+d=-+¶则该组合的收益为fs¶d=¶例：无套利定价与期权的风险对冲假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，问题：求一份3个月期执行价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。为了找出该期权的价值，可构建一个由1单位看涨期权空头和m单位的标的股票多头组成的组合。若股票价格＝11，则该期权执行，则组合收益为11m－0.5若股票价格＝9，则该期权不执行，则组合收益为9m为了使该组合在期权到期时无风险，m必须满足下式：11m－0.5＝9m，即m=0.25组合价值为2.25元由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场价格为10元，因此，从无套利出发，期权费f（期权的价值）必须满足元19.225.225.01.0e100.252.190.31ff元根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风险利率，所以组合的现值为下面将证明该组合为无风险组合，在Δt时间区间内收益为ffss¶D?-D+D¶22221()2()ffffsstswtsssfstsws22221()2ffstts注意到此时Δπ不含有随机项w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于Δt较小（不采用连续复利），则ffss¶?-+¶又由于22221()2ffRrtstts抖=D?兆譊=-+sD抖22221()2fffstfsrttss抖?-+sD=-+鬃D抖?（）整理得到222212fffrssrftss抖?+s=抖?＋B-S微分方程的意义222212fffrssrftss抖?++s=抖?衍生证券的价格f，只与当前的市价S，时间t，证券价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。因此，B-S微分方程构造了一个风险中性世界。在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程求出价格f。释义：风险中性定价假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，问题：求一份3个月期执行价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。理解：在我们这个世界上，一共有3种人，风险规避者、偏好者和风险中性者，但是证券的价格只有一个。所以，证券的定价对风险中性者也是适用的，风险中性者也必须以同样的价格来购买证券。因为风险中性的投资者不需要额外的风险补偿，在由风险中性者构成的子世界，所有证券的预期收益率都等于无风险收益率。风