第4章离散时间的金融市场均衡和资产估值多期模型

第四章离散时间的金融市场均衡和资产估值：多期模型4.1多期经济4.1.1跨期的信息结构我们有以下的基本假设和记号：（1）这个经济体总共跨越T+1时期：t=0,1,…,T。（2）这个经济体的每个状态记为，它表示这个经济体从t=0时期演变到t=T时期的一种可能的历史过程。要注意：是外生的，所有的区分和刻画了经济体的外部环境；把所有可能的外部环境状态进行了完整的区分；所有可能的状态记为，每个可以看作是状态空间的元素（点）。（3）经济体的真实状态是逐渐地从t=0时期演变到t=T时期，这样一个演变过程实际上也是一个信息结构逐渐展示的过程，可以用事件树来表示。下面用一个简单的例子来说明事件树和信息结构。例：考虑一个三期模型t=0,1,2（此处T=2）。到t=T时期总共有5种可能出现的事件，可能的演变过程可用图4.1的事件树表示。对此事件树做以下解释：所有的事件（在这个简单的事件树中总共可能出现8个事件：）它们都是状态空间的子集。如果两个事件和，有，则和成为互相分离的事件。状态空间的一个划分是一组事件，使得I.，有II.。到t时期，经济体展示的有关状态的信息（通常来说对所有的投资者都相同）可以用状态空间的一个划分来表示。12345,,,,0111212345,,,,,,,EEE0E11123,,E1245,E123541E2E12EE1E2E12,,,nEEEijijEEiiE12,,,tttttnFEEE在图4.1的事件树中，到了t=1时期，投资者获得的有关状态的信息就是划分，其中：，。于是投资者依据这样的信息就可以判断，如果在t=1时期出现的事件是，那么，到期末（t=2时期），只可能出现这3个事件之一；如果在t=1时期出现的事件是，那么，到期末（t=2时期），只可能出现这2个事件之一。假设投资者具有无限的记忆能力，则随着时间的推移，展示的信息会越来越精细，即有，比精细，这意味着。各个时期展示的信息汇总起来，就是整个信息结构，表示为为了方便起见，我们可以认为和。（4）把状态空间看作基本的样本空间，就可以在其上定义概率测度：。对于任意事件，该事件发生的概率就是1112,FEE11123,,E1245,E45,11E123,,12E1,2,,stsFtFttsFF,0,1,,tFFtT0FTFEEE这样，我们就有了跨期信息结构的完整定义。说明：前面定义的每个状态表示的是经济体从t=0时期演变到t=T时期的一种可能的历史过程，也就是事件树上从期初到期末的一条可能的路径，和期末各种可能出现的事件是不同的。但是，在图4.1的例子中，到达期末任意事件的路径都只有一条，所以很容易在理解上混同起来。由图4.2可知，到期末，只可能发生3个不同的事件但可能的状态有4个，因为有4条可能的路径。其中也是按这4条可能的路径来划分的。12345,,,,,1,2,,5ii123,,1112,EE4.1.2证券市场定义4.1：一个时间/事件或有要求权是1份有价证券，到t时期，在事件发生时，支付1个单位的消费品。时间/事件或有要求权就是多期模型中的Arrow-Debreu证券（基本证券），对于所有多期模型中的金融资产的不确定性现金流，我们都可以采用时间/事件或有要求权的组合来复制。假设在证券市场上一共有N+1种有价证券在进行竞争型交易。令是第K种证券在t时期的价格。显然，是的函数。如果采用向量和矩阵的记法，是所有N+1种有价证券在t时期的价格向量，是所有N+1种有价证券在t时期的红利（利息）向量。和都是相对于的可测随机序列，我们称和适应于信息结构。采用，和信息结构F刻画多期模型的证券市场。ttEF,ktP,ktPtE0,1,,,,,TtttNtPPPP0,1,,,,,TtttNtddddtPtdtFtPtd,0,1,,tFFtTtPtd4.1.3投资者偏好假设在我们的多期模型经济中总共有位消费者/投资者。他们在t时期的消费（量）记为，是的函数，即有所有的也都是相对于的可测随机序列，即都适应于信息结构F同样，消费者/投资者要最大化他们的冯·诺伊曼－摩根斯坦期望效用函数值。期望效用函数在数学上表示为此处表示消费者/投资者在事件树中的一条可能的路径上的全部消费。我们假设消费者/投资者具有以下形式的时间可加、状态可区分和各个状态互相间独立的偏好，可用以下形式的效用函数表示：注意：已经包含了消费的时间偏好在内。并且，我们假定（1）（严格的）非餍足性，即；（2）（严格的）风险厌恶，即。1,2,,iIitctEiitttccEitctF,,1,2,,iiEuciI（4.1.1）ic001,1,2,,ttTiiiitttttEFucEucEiI（4.1.2）itu'0itu''0itu4.1.4经济禀赋和消费/投资策略对于消费者/投资者i，令是他（她）在t时期对所有N+1种证券的持仓量，如果投资者在t时期交易证券，即调整他（她）的投资组合中各种证券的持仓量，那么，是指交易前（即调整投资组合前）的持仓量。因此，就是在t+1时期进行交易前（调整投资组合前）投资组合中各种证券的持仓量。如果投资者在t时期减持（即卖掉）部分有价证券，将所得的货币资金用于消费的话，在t时期消费的量（因为已经假设只有一种消费品）记为。这样，一个交易策略（即投资策略）也就是一个随时间变化调整投资组合中各种证券的持仓量的随机过程（在离散情况下是随机序列）。为什么是一个随机过程而不是一个确定性的过程？因为作为一个面向不确定性的策略，在期初制定时，它必须是一个“随机应变”的策略，在从t=0时期演变到t=T时期的过程中，面对各种可能出现的状态采用相应的不同措施。0,1,,,,,iiiitttNtit1ititc定义4.2：一个交易策略（投资策略）是一个N+1维的随机序列适应于信息结构F。一个消费策略则是一个1维的随机序列也适应于信息结构F。定义4.3：一个交易策略（投资策略）称为是可采纳的，如果相应地存在一个消费策略，使得，有所有可采纳的交易策略都满足预算的约束。遵循（4.1.3）式的消费策略被称为是依靠交易策略（投资策略）融资的。是t时期除红（或付息）前投资组合的价值。现在（在时期）进行交易，卖掉一部分证券将所得用于消费，消费量是，剩下的调整后的投资组合的价值就是，调整后的持仓量就成为。此时还在t时期，价格仍然是t时期价格，但已经除红（或付息），所以证券价格仍然为。这样，按照新的持仓量计算，调整后的投资组合的价值为，于是就有（4.1.3）式。i0,1,,,0,1,,:kNiiktttttTEEFic0,1,,:iitttttTccEEFiict1iTiTittttttPPdc（4.1.3）iciiTtttPdticiTittttPdc1ittP1iTttP定义4.4：是第i位消费者/投资者在t时期拥有的财富，即经济禀赋。也是一个适应于信息结构的随机过程（随机序列）。消费者/投资者在各时期各种状态下（即发生各种事件中）所拥有的经济禀赋（财富）构成了消费和投资的预算约束。iiTttttPdit,0,1,,tFFtT4.2最优消费/投资策略消费者选择他（她）的消费/投资策略——这样的策略用来表示——使自己的效用函数最大化：在模型（4.2.1）中，除了t=0时期的变量外，其他的变量都是随机变量。4.2.1动态规划解法动态规划是运筹学中求解多期优化问题的常用方法，该方法是贝尔曼在20世纪50年代初提出的，其基本思想是一种逆向的求解方法。（1）当t=T时，此时已经到了多期模型的终期，投资组合将被全部变现用于消费，所以有，并且00,1maxiiTiiiittctucEuc,iic1..,01iTiTittttttstPPdctT（4.2.1）100,0,,0TiT共N+1个iiTiTTTTTcPdw（2）我们标记到t期时，在当时所能获得的信息条件下的预期值（数学期望值）为，并记当时的投资组合的价值为，则在t=T-1期的消费/投资策略（模型4.2.1）就转变成这里，是T-1期的值函数。（3）当t=T-2时，可以重复上面的步骤，得到优化模型|ttEFEiTittttPdw11111,maxiiTTiiiTTTTTTcJucEuc111..iiTiTTTTstwPciiTiTTTTTwPdc（4.2.2）1111,iTTTTJJwF12;1;222211,,maxiiiiTTTTiiiiTTTTTTTTccJucEucuc2122222..iiTiiTTTTTTTTstwPcPd111111iiTiiTTTTTTTTwPcPdiiTTTTTTwPdc（4.2.3）注意：引用贝尔曼的“最优化原理”，这个模型的值函数（即优化目标函数）可以改写成以下的“嵌套”形式：和互换位置是因为去预期值（概率平均值）与的优化决策选择无关。注意：“嵌套”中的值函数是已经在（4.2.2）式的约束条件下优化后的结果。于是，（4.2.3）式的模型最终可改写为1212222111,,maxmaxiiiiTTTTiiiiTTTTTTTTTccJucEEucuc121222111,,maxmaxiiiiTTTTiiiiTTTTTTTTccucEucEuc12222111,max,iiTTiiiTTTTTTcucEJwF1,maxiiTTc2TE2TE1,maxiiTTc111,iTTTJwF122222111,max,iiTTiiiTTTTTTTcJucEJwF2122..iiTiTTTTstwPc1111iiTTTTTwPd（4.2.5）（4.2.4）（4）以此类推，我们就可以得到一般的t期模型：模型（4.2.6）就是我们求解多期消费/投资优化策略的动态规划模型。1111,,max,iittiiiitttttttttcJwFucEJwF1..iiTittttstwPc1111iiTttttwPd（4.2.6）4.2.2求解最优消费/投资策略记为第k种证券在t+1时期的收益率。于是，第i位消费者/投资者在t+1期的财富可以表示为其中，是第t+1期（在第t+1期进行交易调整持仓量之前）第i位消费者/投资者持有第k种证券的货币价值。于是，从第t期到第t+1期（在第t+1期进行交易调整持仓量之前），消费者/投资者的财富应该是,1,1,,1,ktktktktktPdPrP1111,1,1,10NiiTttttktktktkwPdPd,1,,1,1,00NNktktktktktkkPrP,1,120Niiktktttkarwc第项是因为（4.2.6）式第一个约束条件,1ikta,10Niiitkttkwac(4.2.7)代入（4.2.7）式，就有如果第0种证券是无风险资产，在第t+1期的收益率记为，就有1