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第七章结构的动载试验在建筑结构当中，动荷载一般分为两种。一种是振动，比如说，在建筑物里面有机械振动；另外一种是在结构物上有移动荷载，比如说吊车梁，上面有吊车在移动，这样会产生应力的变化。对于承受振动的结构，实际上有这么几种情况，一种比如说对于机械振动，有些产生振动的一些机械，当然要做一些处理，使它产生的振动小。另外有一些机械，比如说精密加工机械或者精密仪器，它自己怕振动，怕受外界的干扰，那么在工程设计中也要进行处理。另外还有一类，就是可能引起灾害性的震动。比如说，地震或者是风震。那么就要研究结构物，能够承受地震或者是风震的能力。为了做这些研究，当然要对结构进行震动的测量，在这一章里，主要介绍振动测量是在弹性阶段。介绍结构的固有特性的测量，包括固有频率、阻尼和振形。但是，为了能够测量这些振动，有一些基础的知识要了解，所以，还要介绍一些基本的知识。一．结构振动参数的测定，就是第七章第一节的内容。所谓结构振动参数，实际上就是振动的位移、速度和加速度。为了能够很好的进行振动的测量，需要对振动的类型和它的怎么表示有所了解。1．所以，第一个问题就介绍，振动的分类及表示法，在建筑结构振动一般有这么几类，一个是简谐振动，这当然是最简单的，再一个就是复杂的周期振动，第三类，就是无周期的复杂振动，最后一类，就是随机振动。（1）首先介绍一下简谐振动，所谓简谐振动，实际上它是按照正弦或者余弦的规律，进行振动的这么一类。那么为了表示振动,有那么几种表示方法,一种就是方程式表示法,当然对于像简谐振动这种就可以用一个方程式来表示,实际上是一个解析式子,它就是一个正弦的规律,那么它有一个振幅,一般用X0来表示，那么它里面，它当然是ωt，ω是角频率乘上时间再加上一个相位φ，那么就是说一个震动，当然它是一个时间的函数，所以总的就用X（t）来表示这个函数。它的速度就是这个函数的一次导数，就可以得到速度。那么再经过一次求导，那么就可以得到加速度。所以只要能够用解析式子来表示的震动，那么它的位移、速度和加速度实际上都可以求出来。而且对于简谐震动来说，实际上它的参数很简单，就是一个振幅，也是不变的振幅，另外一个固定ω和一个相位。当然这个角速度也是角频率，当然也可以用频率来表示，f是频率，单位是赫兹。角频率就是每秒多少个弧度。这是用方程式来表示震动。如果用图形来表示，那么，就是以时间为坐标轴的这么一个图形，它的纵坐标是它的振幅，这个振幅就是广义的了。这个振幅可以表示位移，也可以表示速度，也可以表示加速度。那么表示位移，当然表示出来正弦曲线是表示振动的位移，如果它纵坐标是速度，当然这个图形是表示速度的图形，要加速度就是加速度的图形。它的起点与坐标零点的距离，当然这就是它的初位相。把这种以时间为轴的这种图形叫做时域表示法。也就是时域的时程图，因为它是以时间为表示，所以它叫时程图，以后，测震实际上都是描绘这个时程图。也可以把简谐振动描绘成这样，就是说，它的横位标是以角位移就是角速度或者是频率来表示，就是角频率或者频率来表示，纵坐标当然还是位移、速度或者加速度,那么，对于简谐振动来讲，它肯定就是在某一个角频率下有一个振幅。来描绘它的振幅多少，那么就是在这个频率下，有这么一个振幅，那么这个表示这个振动的幅度的情况，同样也可以横坐标也是角频率，纵坐标是相角φ，那么，这也是在某一个频率下，有一个相位，那么，把表示振幅这个图，叫做幅频图。把相位这个图，叫做相频图。那么用这个横坐标是角频率或者是频率，这种图形我们叫做频域的表示法，或者把它称为频谱图。这是第一种最简单的振动。（2）第二种要介绍是复杂的周期振动。就是说它这个震动是有周期的，可是在一个周期内，它的振幅的变化和它的频率也可能有变化，那么实际上，这个图形是很复杂的，但是它是有周期的。就是说振动方程可能是一个复杂的周期函数,也可能只有时程曲线,而不能用方程来表达。就是说，我们在测震的时候往往有些复杂的振动，那么就是说你写不出来一个解析的表达式，而仅仅光能描绘一个图形，那么，在这个图形上，它的振幅和频率都是变化的，但是过一段时间以后，那么这个图形还重复，那么这个就叫有周期的复杂运动。这里头经常要用到的，就所谓时程曲线。而这个复杂的周期运动，它的时程曲线就是在一个周期内波形是复杂的。频率、振幅参差不齐，但呈现周期性。那么，这种振动可以用它的傅立叶级数来表示,这个傅立叶级数，大家在数学里都学过了。那就是说，可以把一个时间函数，描绘成是由一系列简谐波构成的。那么它最基本的就是一个余弦相。它有一个系数是ak，正弦相系数是bk，那么就是说，一个复杂的周期振动可以用级数来表示，而且级数ak当然用时间函数，可以通过数学变换来求出来。同样可以把ak或者bk用图形来表示。因为这个ak实际上就是在某一个频率下，它每一个K都对应了某一个特定的频率，同样bk的每一个K也是对应了特定的频率。我们把傅式变换这一公式也可以改变成这么种形式，就是说都是用正弦来表示，这里多了一个相角φK，那么这里面它的每一个系数，这个正弦相的系数都变成XK，XK和ak、bk的关系就是平方和的再开方。同样，相角也可以通过bk和ak之比的（阿科坦金特）arctan来求，这样对应了每一个频率K，都有一个XK和φK。如果我们把横坐标用它的角频率,纵坐标比如说用b,表示bK,或者是横坐标用角频率,纵坐标用aK可以做成一个谱,就是把每一个bK都画上，比如说b1、b2、b3一直到bN，同样画a1、a2、a3...aN，那么就得到这么一个谱，一般把这个谱叫傅立叶系数谱。同样如果把这个合并以后的用XK来画图的话，这个纵坐标是XK,横坐标是角频率，那么在每一个频率下也可以得到X1、X2、X3一直到XN。而且，它的角频率只要是周期性振动，角频率都是成倍数的，就是说ω0,下一个就是二倍的ω0，三倍的ω0。同样，把相角也可以按照频率给它画出来，那么把这一部分叫做什么呢？叫做频谱，我们常说的频谱分析，也就是要求出来它这个频谱图，那么，它的频谱实际上是对应着一个振动，它有很多种频率合成的，那么每一个频率下的振幅是多大，在这个频率下的它的相位是多大，分别画在两个图上，这样，就构成一个复杂的周期振动的频谱图。那么，复杂的周期振动的频谱图，它一定是有限个、离散的谱图。就是说它都是在某一个频率下，有一个简谐振动，在另一个周期下有另外一个简谐振动，把最低的ω0这个角频率，当然就叫做这个振动的基频。然后其它的就是二倍频，三倍频等等。（3）而在结构振动中，经常碰到的还有一类，就是无周期的复杂振动。就是说，它本身是个很复杂振动，而且还没有周期。就是说它没有周期性，它的振幅变化也是参差不齐的，而且在一个有限的时间内它不重复。这也是经常碰到的一种振动。那么为了表示这种振动，当然这种振动多半是难以用解析式来表达的。我们测振的时候只能测到它的一个时程曲线，就是说我们可以记录下来，比如说它的位移。按照时间是怎么变化的,记录这么一个复杂的曲线,那么要想把它进行频谱分析,当然就用傅立叶变换。就是说要是表示用频域表示，复杂的周期振动要用频域表示，就是求它的傅立叶变换。为了求这个傅立叶变换就是这样，就是假设有一个复杂振动，用X(t)来表示，在一定的条件下，可进行傅立叶变换，将X(t)转变成频域表达。这个傅立叶变换的公式就是这样，这个大家在数学里也学习过了,就是它是把这个X(t)这个时间函数，乘上一个e-jω(t)次方，然后在-∝到+∝积分。e-jω(t)它实际上是三角函数复数的表示形式，它也实际上是一个三角函数，不过是用复数来表示，那么通过这么一个变换，就把这个时间函数，就变成角频率的函数，就变成ω的函数，那么就把这个函数X(ω)就称作X(t)的傅立叶变换，如果X(ω)要是已知，那么就可以求它的逆变换。就是可以用X(ω)来去表达X(t)，那么它是2π分之一，-∝到+∞之间的积分，它是把X(ω)乘上一个e+jω(t)，那么这个e+jω(t))它的含义，也是一个三角函数，不过这个是正的,把这个叫做傅立叶逆变换,那么从这个逆变换我们就可以看出什么呢?就是说一个时间函数，一个复杂的时间函数,可以用一个它的频率函数来表达,实际这个频率函数也是一个三角函数,不过它是一个负数。那也就相当于把一个振动，用一系列的简谐波来代替，也就认为一个复杂的无周期的运动，它也是由无数的简谐波构成的，不过这些个简谐波，它是简谐波的，频率变化是连续变化的，不像有周期的，它是离散变化的，这无周期的，它是连续变化的。所以在数学上是把X(t)和X(ω)称为傅立叶变换对，就是说可以由时间函数，求出它的复式变换，也可以由它的复式变换，再求出时间函数X(t)，那么在振动领域，就把它的傅式变换，称为这个振动的频域表示。那就是说复杂的振动，也可以有频域表示，也可以时域表示。在一般情况下傅立叶变换是个复数,所以就可以把它分成一个傅立叶变换X(ω)可以把它变成什么呢？可以求出它的实部，这个Re是求复数的实部的一个符号，那么前一部分，就表示这是这个函数的实部。这个Im是求它的虚部的符号，那么这个后面这一部分，表示是它的虚部。所以，整个这个函数，表示成复数就是这个实部加上一个jImX(ω)，这个J就是虚数的乘子了，就是根号负1。那么，如果已经把它表示成为实部和虚部，当然就可以求出复数的模。这个复数的模，当然就是用X(ω)加上一个模的符号来表示，它实际上是个实部的平方和虚部平方的和再开方，这是它的模。同样，也可以求出它的幅角，就是它虚部被实部来除的（阿科坦金特）arctan。如果要把它的模和幅角，或者是它的实部或者虚部，当然都可以画成图形，那么，这个就是振动的频域表示法当中的图形表示。频域表示法当中的解析表示，当然就是求它的傅氏变换。教材图7-5。它的图形表示就是这样，上面这个，实际上是傅立叶的变换实部，那么它的横坐标是角频率，纵坐标当然就表示它的实部，因为(ω)是个连续变化的，所以它是一条连续曲线。这个图是傅立叶变换的虚部，那么它也是一个连续曲线。下面这两个图，一个是傅立叶变换的模的图形，那么它的横坐标也是角频率，纵坐标是它的模，表示在不同的频率下它的模是多少。右边这个图是表示它的幅角，就是横坐标也是角频率，那么，表明在不同的角频率下，它的幅角是多少。就是说，用这个图，把下面这个图叫做频谱图。就是一个振动的频谱图。这个频谱表示什么呢？表示在不同的频率下，把一个复杂振动，分解成无数个简谐振动,那么这些简谐振动，表示在不同的频率下，简谐振动的振幅和简谐振动的频率。就是它的幅频图和它的相频图。那么在振动领域就把它的傅氏变换称为振动的频域表示。这个当然是从理论上来分析，你假如说有一个振动的分析式，我们才能连续的进行积分。但是对于振动测量来讲,一般是没有这个解析式的,仅仅是得到一个图形,而且它时间是有限的。比如说在傅式变换的时候它时间是无限的，都是从负无穷大积到正无穷大，但是我们在测振的时候，肯定是在有限的时间内的某一个振动图形。那么，我们把振动图形怎么进行傅立叶变换来处理呢？那么，现在就用计算机叫做快速傅立叶变换，实际它是对离散数据进行处理，那么就是说，把连续记录下的图形，把它数字进行离散化，把它变成一个数列。就是把你记录的图形，画成一个数列,比如说X(ti)，i等于从1到N，也就是说我们可以在t1时间记录一个数，在t2时间又记录一个数，在t3时间记录一个数，那么就是说你可以记录N个数值。这N个数值实际上是表示一个振动。应用快速傅立叶变换，符号就是FFT，得到离散傅式变换，它这个傅式变换也可以用它的实部和虚部来表示，那么它这个ω也就不是连续的，也是ωj，这个j也是从1到N，那就是说ω1是一个数,ω2是一个数,ω3是一个数，这样就可以得到，从N个X得到N个X(ω)。那么这个数列实际上包括它的实部和包括它的虚部,它也是个复数。所以，从计算机计算的时候，假如说本来是个实的振动记录下来，计算完了以后，假如说有N个时间的数列，那么计算它在傅式变换的时候，那么可以得到复式变换N个实部的数据，也得到N个虚部的数据。同样利用它的实部和虚部可以求出它的模，这个模当然也是N个，同样也可以利用它虚部和实部求出它相角，