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2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[0，]D．[0，）2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．6﹣x﹣的最大值是2C．的最小值是2D．当x∈（0，π）时，sinx+≥43．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于点（π，0）中心对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真4．“2＜m＜6”是“方程（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知定义在R上的函数f（x）=ex+x2﹣x+sinx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．y=x+1B．y=x+2C．y=﹣x+1D．y=﹣x+26．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．﹣D．或7．已知F是双曲线﹣=1的右焦点，点P的坐标为（3，1），点A在双曲线上，则|AP|+|AF|的最小值为（）A．+4B．﹣4C．﹣2D．+28．设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．9．若x，y满足不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=（）A．B．0C．D．110．已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是（）A．4B．C．D．11．设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF1F2=（）A．B．C．D．12．若函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，]C．[，+∞）D．[9，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是．14．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．15．已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则的最小值为．16．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知p：2a≤x≤a2+1，q：x2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，若p是q的充分条件，求实数a取值范围．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．19．已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对任意n∈N*均有++…+=an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2015的值．20．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣ln．（1）求函数f（x）在[，e2]上的最大值和最小值；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，函数g（x）=x3+x2的图象在y=f（x）的图象上方．22．设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设A，B两点都在以P（﹣2，0）为圆心的同一圆上，求E的方程．2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[0，]D．[0，）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】问题转化为mx2+4mx+3≠0恒成立，通过讨论m的范围，结合二次函数的性质判断即可．【解答】解：若函数f（x）=的定义域为R，则mx2+4mx+3≠0恒成立，m=0时，成立，m≠0时，△=16m2﹣12m＜0，解得：0＜m＜，综上，0≤m＜，故选：D．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．6﹣x﹣的最大值是2C．的最小值是2D．当x∈（0，π）时，sinx+≥4【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式的规律，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A，lgx可能为负值，故lgx+≥2错误；选项B，6﹣x﹣=6﹣（x+），而x+=4，或x+≤﹣2=﹣4，故6﹣（x+）≤2或6﹣（x+）≥10，故B错误；选项C，==+≥2，当且仅当=即=1时取等号，此时x2=﹣3，故等号取不到，故＞2，取不到2，故错误；选项D，当x∈（0，π）时，sinx＞0，由基本不等式可得sinx+≥2=4，故正确．故选：D3．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于点（π，0）中心对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真【考点】复合命题的真假．【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题；结合复合命题的判断规则知：p∧q为假命题，p∨q为是假命题；故选：C．4．“2＜m＜6”是“方程（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出方程表示椭圆的充要条件：分母都大于0且不等；求出m的范围；利用充要条件的定义判断前者是后者的什么条件．【解答】解：（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12=（m﹣2）（6﹣m）表示椭圆的充要条件是：，解得2＜m＜6但m≠4；当2＜m＜6推不出2＜m＜6但m≠4；2＜m＜6但m≠4成立时能推出2＜m＜6；故2＜m＜6是方程表示椭圆的必要不充分条件．故选：B．5．已知定义在R上的函数f（x）=ex+x2﹣x+sinx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．y=x+1B．y=x+2C．y=﹣x+1D．y=﹣x+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数，然后由直线方程的斜截式得答案．【解答】解：由f（x）=ex+x2﹣x+sinx，得f′（x）=ex+2x﹣1+cosx，∴f（0）=1，f′（0）=1，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y=x+1，故选：A．6．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．﹣D．或【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【分析】由a2，a3，a1成等差数列可得a1、a2、a3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q，而由等比数列的性质可得=q，故本题得解．【解答】解：设{an}的公比为q（q＞0），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=．∴=q=．故选B．7．已知F是双曲线﹣=1的右焦点，点P的坐标为（3，1），点A在双曲线上，则|AP|+|AF|的最小值为（）A．+4B．﹣4C．﹣2D．+2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的左焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|﹣2，考虑A在左支上运动到与P，F'共线时，取得最小值，即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A在双曲线的左支上，双曲线﹣=1的a=，b=2，c=3，设双曲线的左焦点为F'，即有F（3，0），F'（﹣3，0），由双曲线的定义可得|AF'|﹣|AF|=2a=2，即有|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|﹣2，当A在左支上运动到P，A，F'共线时，|AP|+|AF'|取得最小值|PF'|==，则有|AP|+|AF|的最小值为﹣2．故选：C．8．设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．9．若x，y满足不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=（）A．B．0C．D．1【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值，再列方程求出a即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，其中A（a，2﹣a），B（a，a），当直线z=2x+y过点（1，1）时，z最大是3，当直线z=2x+y过点B时，z最小是3a，∴3=3×3a，∴a=．故选A．10．已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是（）A．4B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ），利用三角函数即可得到结论．【解答】解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ）∴|PQ|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=﹣3sin2θ﹣2sinθ+5，∴当sinθ=﹣时，|PQ|2max=，∴直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长|PQ|max=．故选：B．11．设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF1F2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义知m﹣n=2a，由△PF1F2为直角三角形，知m2+n2=4c2，由双曲线的离心率为5，c=5a，由此能求出结果．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则由双曲线的定义知m﹣n=2a，①∵△PF1F2为直角三角形，∴m2+n2=4c2，②∵双曲线的离心率为5，∴，即c=5a，把①和②联立方程组，解得mn=2b2=2（c2﹣a2）=48a2，解方程组，得m=8a，n=6a，∴cos∠PF1F2====．故选C．12．若函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，]C．[，+∞）D．[9，+∞）【考点】二次函数的性质．【分析】函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则其导函数在[，+∞）上是非负值，又因导函数为递增函数，只需最小值非负即可．【解答】解：f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，∴f'（x）=2x+a﹣在[，+∞）上是非负值，∵f'（x）=2x+a﹣在[，+∞）上递增，∴f'（）=﹣9+a≥