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第1页（共18页）2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的..1．已知集合A={x|x2＜1}，集合B={x|＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．∅2．已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为（）A．0B．C．1D．23．抛物线y=4x2的准线方程为（）A．x=﹣1B．y=﹣1C．x=﹣D．y=﹣4．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=60°，b2=ac，则A=（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．“方程﹣=1表示双曲线”是“n＞﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知等差数列{an}中，前n项和为Sn，a1＞0，a1007+a1008=0，则当Sn取最大值时，n=（）A．1007B．1008C．2014D．20157．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x交于不同的两点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（1，）D．（，2）8．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则二面角B﹣A1C1﹣A的余弦值为（）A．B．C．D．9．若命题“∀x∈（1，+∞），x2﹣（2+a）x+2+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）10．已知椭圆+=1与双曲线﹣=1有共同的焦点F1，F2，两曲线的一个交点为P，则•的值为（）A．3B．7C．11D．2111．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，以下说法：①在△ABC中，“a，b，c成等差数列”是“acos2+ccos2=b”的充要条件；第2页（共18页）②命题“在锐角三角形ABC中，sinA＞cosB”的逆命题和逆否命题均为真命题；③命题“对任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”为假命题．正确的个数为（）A．0B．1C．2D．312．如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，且A2B∥OP，|FA2|=+，过A2作x轴的垂线l，点M是l上任意一点，A1M交椭圆于点N，则•=（）A．10B．5C．15D．随点M在直线l上的位置变化而变化二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．已知数列{an}的前n项和为Sn=2n﹣3n，则a6+a7+a8=______．14．已知实数x，y满足+y2=1，则x+2y的最大值为______．15．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则点B与点D1两点间的距离为______．16．已知p：“≤0”，q：“x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＜0）”，命题“若￢p，则￢q”为假命题，“若￢q，则￢p”为真命题，则实数m的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知f（x）=ax2﹣（a+2）x+2．（1）若实数a＜0，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；（2）若“≤x≤”是“f（x）+2x＜0”的充分条件，求正实数a的取值范围．18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞1，S2=6，且a2是a3与a3﹣2的等差中项．（1）求an和Sn；（2）设bn=log2an，求Tn=++…+．19．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若b是a与c的等比中项，求B的取值范围；（2）若B=，求sinA+sinC的取值范围．第3页（共18页）20．已知点A（﹣，0）和圆B：（x﹣）2+y2=16，点Q在圆B上，线段AQ的垂直平分线角BQ于点P．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）轨迹C上是否存在直线2x+y+1=0对称的两点，若存在，设这两个点分别为S，T，求直线ST的方程，若不存在，请说明理由．21．如图，ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD．（1）若PA=AB，点E是PC的中点，求直线AE与平面PCD所成角的正弦值；（2）若BE⊥PC且交点为E，BE=a，G为CD的中点，线段AB上是否存在点F，使得EF∥平面PAG？若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由．22．斜率为1的直线l经过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，且被抛物线所截得弦AB的长为4．（1）求实数p的值；（2）点P是抛物线E上一点，线段CD在y轴上，△PCD的内切方程为（x﹣1）2+y2=1，求△PCD面积的最小值．第4页（共18页）2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的..1．已知集合A={x|x2＜1}，集合B={x|＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．∅【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集，分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），当x＜0时，B中不等式变形得：x＜1，此时x＜0；当x＞0时，B中不等式变形得：x＞1，此时x＞1，∴B=（﹣∞，0）∪（1，+∞），则A∩B=（﹣1，0），故选：A．2．已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为（）A．0B．C．1D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，目标函数表示可行域内的点与原点连线的斜率，数形结合可得．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图△ABC及内部），目标函数表示可行域内的点与原点连线的斜率，数形结合可知当直线经过点A（1，2）时，取最大值2，故选：D．第5页（共18页）3．抛物线y=4x2的准线方程为（）A．x=﹣1B．y=﹣1C．x=﹣D．y=﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的准线方程的定义可求得．【解答】解：因为抛物线y=4x2，可化为：x2=y，则抛物线的准线方程为y=﹣．故选：D．4．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=60°，b2=ac，则A=（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=ac，化为（a﹣c）2=0，解得a=c．又B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴A=60°．故选：C．5．“方程﹣=1表示双曲线”是“n＞﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】方程﹣=1表示双曲线⇔（2+n）（n+1）＞0，解得n即可得出．第6页（共18页）【解答】解：方程﹣=1表示双曲线⇔（2+n）（n+1）＞0，解得n＞﹣1或n＜﹣2．∴“方程﹣=1表示双曲线”是“n＞﹣1”的必要不充分条件．故选：B．6．已知等差数列{an}中，前n项和为Sn，a1＞0，a1007+a1008=0，则当Sn取最大值时，n=（）A．1007B．1008C．2014D．2015【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质和题意易得数列{an}的前1007项为正，从第1008项开始为负，易得结论．【解答】解：∵等差数列{an}中，前n项和为Sn，a1＞0，a1007+a1008=0，∴a1007＞0且a1008＜0，即等差数列{an}的前1007项为正，从第1008项开始为负，∴当Sn取最大值时，n=1007．故选：A7．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x交于不同的两点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（1，）D．（，2）【考点】双曲线的简单性质．【分析】将直线y=x代入双曲线的方程，由题意可得b2﹣a2＞0，再由a，b，c的关系和离心率公式即可得到所求范围．【解答】解：将直线y=x代入双曲线﹣=1，可得：（b2﹣a2）x2=a2b2，由题意可得b2﹣a2＞0，即有c2﹣2a2＞0，即为e2＞2，即e＞．故选：B．8．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则二面角B﹣A1C1﹣A的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B﹣A1C1﹣A的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），C1（0，1，1），第7页（共18页）=（﹣1，1，0），=（0，0，﹣1），=（0，1，﹣1），设平面A1C1A的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面A1C1B的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，1），设二面角B﹣A1C1﹣A的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣A1C1﹣A的余弦值为．故选：C．9．若命题“∀x∈（1，+∞），x2﹣（2+a）x+2+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】全称命题．【分析】根据不等式恒成立的关系转化为一元二次函数，讨论判别式△的取值，进行求解即可．【解答】解：判别式△=（2+a）2﹣4（2+a）=（a+2）（a﹣2），若判别式△=（a+2）（a﹣2）≤0，即﹣2≤a≤2时，不等式恒成立，满足条件．若判别式△=（a+2）（a﹣2）＞0即a＞2或a＜﹣2时，设f（x）=x2﹣（2+a）x+2+a，要使命题“∀x∈（1，+∞），x2﹣（2+a）x+2+a≥0”为真命题，则满足，则a≤0，∵a＞2或a＜﹣2，∴a＜﹣2，综上，a≤2，第8页（共18页）故选：B．10．已知椭圆+=1与双曲线﹣=1有共同的焦点F1，F2，两曲线的一个交点为P，则•的值为（）A．3B．7C．11D．21【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得m=4，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的P的坐标，求出向量，的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：椭圆+=1与双曲线﹣=1有共同焦点为（±3，0），即有m=4，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的点P（，），则=（﹣3﹣，﹣），=（3﹣，﹣），即有•=（﹣3﹣）（3﹣）+=+﹣9=11．故选：C．11．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，以下说法：①在△ABC中，“a，b，c成等差数列”是“acos2+ccos2=b”的充要条件；②命题“在锐角三角形ABC中，sinA＞cosB”的逆命题和逆否命题均为真命题；③命题“对任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”为假命题．正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据等差数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．②根据四种命题之间的关系进行判断即可．③根据正弦定理进行判断即可．【解答】解：①若acos2+ccos2=b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，可得sinA+sinC=2sinB，由正弦定理可得，整理得：a+c=2b，故a，b，c为等差数列；反之也成立，第9页（共18页）即，“a，b，c成等差数列”是“acos2+ccos2=b”的充要条件；故①正确，②在锐角三角形ABC中，则A+B＞，于是＞A＞B﹣＞0，则sinA＞SIn（B﹣）=cosB，即sinA＞cosB成立，则原命题为