第七章 连续时间金融初步：期权定价

148第七章连续时间金融初步：期权定价连续时间金融理论是现代金融经济学的一个重要分支，而且随着金融全球化的发展和金融理论的创新和推进，连续时间金融在整个金融学科中的地位日益重要。特别是在理论运用于实践方面，连续时间金融理论的运用丝毫不比离散时间金融理论逊色。例如，从金融产品的角度来看，衍生品交易的规模在国际金融市场中占了很大的比例，而衍生品的交易与发展正是建立在对衍生品合理定价的基础上，而衍生品的定价（比如期权）正是建立在连续时间金融理论之上。本章共分为三节，第一节将介绍期权的概念和定价问题；第二节将介绍股票期权；第三节中，将详细讲解期权定价的二项式模型和Black-Scholes模型。§1期权概论一、期权发展的背景期权交易早已有之。1973年以前，在美国就存在着场外期权交易。由于这种交易是直接交易，交易费用很高，而且没有相应的期权二级市场，所以期权交易很不活跃。1973年4月26日，芝加哥期权交易所(ChicagoBoardOptionExchange,CBOE)正式挂牌，开始了美国全国性的股票买入期权标准化合约的交易。这一交易一经推出就取得了极大的成功。投资者对期权的兴趣及期权交易量迅速增长，并将原来的股票期权柜台交易淘汰出局。期权市场的建立和完善刺激了期权交易的发展，除此而外，70年代和80年代金融市场，商品市场的剧烈波动使得一些投资者纷纷采用期权战略进行保值，降低投资组合的风险，而另一些投机者则利用期权作为投机工具，希望通过短线操作赚钱，所有这些因素，都促使期权交易迅速发展。二、期权的基本概念1.期权的定义期权分为买入期权（Calloption）和卖出期权（Putoption）。买入期权又称敲入期权、看涨期权，它是给予期权的持有者在给定时间，或在此时间之前的的任一时刻按规定的价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。卖出期权又称敲出期权、看跌期权，它给予其持有者在给定时间，或在此时间之前的任一时刻按规定的价格卖出一定数量某种资产的权利。2.期权的要素（1）施权价。期权合同中规定的购入或售出某种资产的价格，称为期权的施权价（exerciseprice或strikingprice）。（2）施权日。期权合同规定的期权的最后有效日期称为期权的施权日或到期日（maturingdate）。（3）标的资产。期权合同中规定的双方买入或售出的资产为期权的标的资产。（4）期权费。买卖双方购买或出售期权的价格称为期权费或期权的价格（option149premium）。3.欧式期权、美式期权与帽式期权根据期权对有效期性质规定的不同，期权又可分为欧式期权（European-style）、美式期权（American-style）与帽式期权（Cappedoption）。欧式期权只有在到期日当天或在到期日以前某一规定的时间可以行使权利；美式期权从它一开始购买直至到期日以前任何时刻都可以行使权利；帽式期权只能在到期日前某一规定的时间内才可以行使权利,但如果在到期日之前期权价值已达到了规定的上限(cap),则期权将被自动执行。美国的期权交易一般都是美式期权。4.期权购买者和出售者的权利与义务任何一个期权都有购买者（buyer）和出售者（writer或seller）。期权的购买者在购买期权时需付出一笔费用给出售者，以获得买卖某种资产的权利。这笔付出的费用，就是期权的价格或期权费。买入期权的购买者付出期权费，获得购买某种资产的权利，但他并没有到期必须购买的义务，他拥有购买或者不购买的选择权。与此相似，卖出期权的购买者或持有者可以出售某种资产，也可以选择不出售。但是，对期权的出售者来说，如果期权的购买者行使其权利，出售者必须向买入期权的持有者提供相应的资产，或接受卖出期权持有者手中的资产。因此，对于期权的购买者而言，付出期权费后，只有权利而没有义务；对期权出售者而言，接受期权费后，只有义务而没有权利。5.期权的内在价值(1)期权的内在价值根据上面对期权买卖双方的权利与义务的分析，可以对迈入期权和卖出期权的内在价值做一些分析。一个施权价为K，标的资产的市场价格为S的买入期权在执行日的价值*cP为：*0cSKSKPSK(7-1)或*max(0,)cPSK这是因为，若某买入期权的施权价为100元，标的资产的市场价格为110元，则买入期权持有者可执行期权，以100元的价格买入标的资产，再在市场上以110元的价格卖掉，从中可获利10元。若标的资产的市场价格为90元，则买入期权的持有者将不执行期权，买入期权的价值为零，但不会出现其价值为负的情况。同样道理，施权价为K,标的资产市场价格为S的卖出期权在执行日的价值为：*0pSKPKSSK（7-2）买入期权和卖出期权的上述价值称为期权的内在价值。(2)币内期权、币上期权与币外期权根据期权施权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为币内期权（in-the-money），币上期权（at-the-money）和币外期权（out-of-the-money）。对买入期权来说，如果SK，则为币内期权；如果SK,为币上期权；如果SK，为币外期权。对于卖出期权来说，如果SK，为币内期权；如果SK,为币上期权；如果SK，为币外期权。表7-1对买入期权的类型做了介绍。150表7-1买入期权的类型买入期权施权价（元）标的股票市价（元）类型A5560币内期权B6060币上期权C6560币外期权三、买入期权与卖出期权平价买入期权、卖出期权和标的资产三者之间存在着一种价格依赖关系，投资者可以凭借其中任意两个构造出另一个金融产品来。它们之间的这种价格依赖关系，称为买入期权与卖出期权平价（CallandPutOption）。下面我们就以欧式股票期权为对象，考察一下这种平价关系。令：S股票市价，cP买入期权市价pP卖出期权市价，K施权价*S施权日股票市价，t距施权日的时间r利息率假设投资者现在以cP价格出售一单位（注意，不是一份期权合约，关于一份期权合约在后面将涉及，这里为了讨论的方便，对问题进行了简化）买入期权，以pP价格购入一单位（同样到期日，同样施权价）卖出期权，以S价格购入一单位期权的标的股票，以利率r借入一笔借期为t的现金，金额为(1)tKr，以上权利义务在施权日全部结清，不考虑交易成本和税收，投资者的现在和施权日的现金流量如表7-2所示：表7-2投资组合的现金流量现在施权日*SK*SK出售买入期权：cP购买卖出期权：pP购买股票：S借入资金：(1)tKr0*KS*SK*KS0*SK总计00由表7-2可知，不管在施权日股价如何变化，该投资组合的价值均为0。由于上述投资组合为无风险投资组合，期末价值为0，那么，它的期初价值也必然为0，即：(1)0tcpPPSKr（7-3）151将（7-3）移项得：(1)tcpPPSKr（7-4）这就是买入卖出期权平价（call-putparity）。同样施权价、同样到期日的买入卖出期权价格必须符合上式，否则，就会出现无风险套利机会，而市场是不会也不应该提供这种机会的。下面举例说明上述情况。如果市场出现下列情况，有效期为三个月，施权价为40的买入期权价格cP为3，同样的卖出期权价格pP为2，股票市价为40，利率为5%，根据买入卖出期权平价，pP应该为14(1)34040(10.05)2.352tpcPPSKr（7-5）所以cP、pP不符合买入卖出期权平价。如果投资者构造下述投资组合：•出售一单位买入期权：+3•购买一单位卖出期权：-2•买入一单位股票：-40•按5%借入现金：+39.35————————————————————当前现金收入：+0.35这个投资组合为无风险组合。根据表7-2的分析，我们知道，其期末价值应等于0，即在施权日不管股价如何变化，投资者都不必付出任何财富。而现在，投资者的现金收入为0.35。因此，这个投资者只要构造这个投资组合，可马上得到0.35单位的无风险收益。市场绝不允许出现这样的无风险套利的机会，所以买入期权、卖出期权的价格必须符合买入、卖出期权平价。§2股票期权一、股票期权合约规定买卖双方权利义务的是标准化的期权合同，又称期权合约，在市场上买卖的就是这种标准化的合同。标准化期权合约有标准的标的资产数量，标准的到期日安排和标准的施权价单位。一般股票期权合约规定：一份股票期权合约的标的资产数量为100股股票，即期权的持有者如购买了一份期权合约，则有权以施权价购买或出售该种股票100股。值得指出的是，期权行情表上公布的期权价格均是针对每股股票而言的，由于每份合约的数量是100股股票，所以每份合约的价格是行情表上标明的价格的100倍。最初，标准化的期权合约规定的到期月份分为三个固定的周期：•一月、四月、七月、十月•二月、五月、八月、十一月152•三月、六月、九月、十二月如一月份发行的期权，到期月份只能是四月、七月和十月；七月份的期权，到期月份只能是十月、次年一月和四月。期权最长的期限为9个月，到期日为到期月份的第三个星期五后的那个星期六。因此，期权的最后一个交易日就是到期月份的第三个星期五。虽然交易所为每一种股票期权选定了上面三个周期中的一组作为到期月份，但在任何一个营业日，此后到期的期权都可以进行交易。如在九月初，到期月份为九月、十月、十一月、十二月的期权都可交易。标准化的期权合约还规定标准的施权价。根据其标的股票的价格，美国股票期权的施权价一般以2.5美元、5美元或10美元的价位递增递减。例如，以5美元为价差的某种股票的期权，其施权价可分为65美元、70美元、75美元、80美元等几种。期权的施权价由交易所确定。一般地说，每股价格较高的股票，它的期权的施权价位较高。每股价格较低的股票，它的期权的施权价位较低。比如，CBOE规定当标的股票价格在5——25美元之间时，施权价按每档2.5美元的价值增减；当标的股票价格在25——200美元之间时，施权价按每档5美元增减；当标的股票价格在200美元以上时，施权价按每档10美元增减。在市场上发行、交易的股票期权，有的施权价高于现行股票市价，有的施权价低于现行股票市价，以满足对股票价格走向持不同预期的投资者的需要。当股票价格上涨或下跌幅度较大时，施权价要反映股价变化，因此就要发行不同施权价的新的期权。由于施权价、到期日、标的资产数量都已有规定，因而期权买卖双方在市场上争取的只是对自己有利的期权价格。换句话说，标准化期权买卖要谈判的只是期权价格。二、股票期权行情表表7-3是1990年6月15日《华尔街日报》期权行情表的一部分，给出的是1990年6月14日Honwell公司股票各种齐全的价格。表中第一列为标的股票1990年6月14日在纽约证券交易所的收盘价，其中第一列第一行是标的股票公司的名称缩写。由表7-3可知，Honwell公司股票1990年6月14日的收盘价为98美元。表中第二列期权的施权价，最低85美元，最高105美元，价位差5美元。第三列至第五列分别是不同施权价下不同到期日的买入期权的期权费。第六至第八列为不同施权价下不同到期日卖出期权的期权费。表中r表示当日该种期权无交易，s表示没有这种期权。表7-3Honwell公司股票期权行情(1990.6.14)Option&NYClosestrikepriceCallPut买入期权卖出期权纽约证券交易所收盘价施权价6月7月8月6月7月8月Honwell853148srrs3898908rrrrr9895728558178r114r98100116328148314r498105r1128rrr153从表中可以看出，第一，对于给定到期日的买入期权，施权价越低，期权价格越高。如到期日为6月的买入期权，施权价为100美元时，期权价格仅仅为116，而施权价为85美元时，期权价格为3148，卖出期权则正好相反（这从最后一列中可看出）。第二，给定施权价，到期日越晚，买入期权和卖出期权的价格越高。如施权价为100美元时，6月份到期的买入期权和卖出期权的价格分别为116和314