2-2-平面刚架问题的有限元法概述

有限元法基础FINITEELEMENTMETHODInstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/22§2.2平面刚架问题的有限元法梁：两端刚性连接的杆件固定连接拉压、弯曲、扭转与截面大小、形状、方位有关刚架：梁单元组成的系统平面刚架：所有杆轴线处于同一平面的系统InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/23一结构离散梁单元离散，各杆有局部坐标系，方向为杆的轴线方向。结构的刚度方程是在统一的坐标系（总体坐标系）中建立并求解，因此需将单元局部坐标各量转换到总体坐标系中。取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节点编号时力求单元两端点号差最小。InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/24二单元分析1、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元ijxyijxy1234lF1F2F3F4l（1）局部坐标下单元位移和单元力①单元位移TjjiiTevv4321（2-24）InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/25其中，v——y方向位移，即挠度。——角位移。②单元力TjjiiTeMQMQFFFFF4321（2-26）其中，Q——剪力M——弯矩3322dxvdEIQdxvdEIM（2-27）dxdvInstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/26（2）位移函数和形函数342321)(xaxaxaaxv（2-28）①位移模式设单元坐标位移模式为②形函数由单元两端点的节点位移条件，解出式（2-28）中的a1、a2、a3、a4。再代入该式，可将位移模式写为以下形式：ijxy1234l梁单元内一点有2个位移：v、因为，=dv/dx；仅一个位移是独立的，取v。InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/27eNxv}]{[)(（2-29）式中][][4321NNNNN（2-30）232433232322233231/)(/)23(/)2(/)23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（2-31）（3）应变矩阵①单元弯曲应变b与节点位移e的关系。梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为：22dxvdybInstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/28将式（2-29）代入，得单元弯曲应变和单元位移之间关系（2-34）)26()612()46()612(3lxllxlxllxlyB4321][BBBBBebB}]{[（2-33）（4）应力矩阵eNxv}]{[)(eebbSBEE（2-35）[S]=[D][B]22dxvdybInstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/29(5)单元坐标单元刚度矩阵梁单元刚度矩阵公式为将式（2-34）代入上式进行积分，并注意到Iz——梁截面对Z轴（主轴）的惯性矩得单元坐标单元刚度矩阵[k]e:AzdAyI2（2-37）dAdxBByEdvBDBkAlTvTe02][InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/210单元刚度矩阵式(2-38)适合于连续梁分析。lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIkzzzzzzzzzzzzzzzze46612266122661246612][223223223223（2-38）•这里整体坐标与局部坐标方向一致。→InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/211(6)等效节点力对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。这里考虑把单元上的集中力、横向分布载荷转化为等价节点力问题。a集中力FNRTlfInstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/212将形函数矩阵[N]代入上式，积分可得分布荷载的等效结点力。表1给出了几种特殊情况的等价节点力。荷载分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2-ql2/123ql/20ql2/307ql/20-ql2/20ql/45ql2/96ql/4-5ql2/96ijqqijqij表2-1几种横向分布荷载等价节点力b分布载荷xyijlpy(x)dxxpNFyTlepy)(0InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation四总刚矩阵集成组装各单元在总体坐标系中的刚度矩阵[K]=Σ[K]e五节点载荷列阵各类载荷移置为单元等效节点载荷后，叠加得总体坐标系中的节点载荷列阵{F}。2020/1/213InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation六约束处理和求解线性方程组经约束处理消除[K]的奇异后，求得位移{δ}e。从而求得局部坐标下的位移2020/1/214KFeeeT'InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation例2-2变截面梁有一变截面梁，一端固定，另一端铰支。梁长为2l，固支端的截面尺寸为b×1.6h，铰支端的截面尺寸为b×h。梁上作用均布载荷p0。求梁端的约束反力。2020/1/215yxInstituteofMechanicalEngineeringandAutomation离散化将梁划分成2个单元，3个结点。每个单元长度为l,截面取平均截面。2020/1/2160)1()1(04.345.1IIhbA，0)2()2(52.115.1IIhbA单元刚度矩阵jilllllllllllllEIk2222346612266122661246612][ij→幻灯片12InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation324661226612266124661252.1][222230)2(lllllllllllllEIk2020/1/217214661226612266124661204.3][222230)1(lllllllllllllEIk1223InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation对号入座，组合整体刚度矩阵2020/1/218321233633633624363661226612266124661204.3][2222222230lllllllllllllllllllllllllEIK123InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation荷载等效结点力向量2020/1/2192112/2/12/2/}{200200)1(lplplplpFd3212/2/12/2/}{200200)2(lplplplpFd约束反力向量TBAAeRMRF000}{12312/2/012/2/12/2/012/2/000}{}{}{20002002000200lplpRlplpMlpRlplplplplpRMRFFFBAABAAde总荷载向量InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation引入边界条件2020/1/2200,0,0311vv将整体平衡方程中对应的1、2、5行和总刚中1、2、5列删去，得12/02363331804.3200322222230lplpvlllllllllEI解方程组，得结点位移值0303030204020889.0003420388.0EIlpEIlPEIlpv将结点位移值代入整体平衡方程，可得约束反力lpRlpMlpRBAA02000708,583.0,29.1InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation有限元法分析过程概述1.结构物的离散2020/1/221选取坐标（右手法则）选择合适的单元，离散结构物为有限个单元，并对单元、节点进行编号2.选择单元的位移模式{f}—单元内任意点的位移列矩阵[N]—单元形函数矩阵—单元节点位移的列矩阵小结efNeInstituteofMechanicalEngineeringandAutomation3.分析单元的力学特性{R}e=[K]e{δ}e{R}e—单元节点力[K]e—单元刚度矩阵4.计算等效节点力5.组装整体结构物的刚度矩阵[K][K]=Σ[K]e6.形成结构物的求解方程，并解出位移{δ}2020/1/222小结KFInstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/223一结构离散梁单元离散，各杆有局部坐标系，方向为杆的轴线方向。取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。§2.2平面刚架问题的有限元法(续)轴剪弯梁InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/2242、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元（平面刚架，BEAM3)ijxyijxy2356l14F2F3F5F6lF1F4（1）单元坐标单元位移和单元力①单元位移TjjjiiiTevuvu654321（2-39）二单元分析InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/225其中，u——x方向（轴向）位移。v——y方向位移，即挠度。——角位移,。②单元力TjjjiiiTeMQNMQNFFFFFFF654321（2-40）其中，N——轴向力Q——剪力M——弯矩dxdv3322dxvdEIQdxvdEIMInstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/226对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按2.3节一维拉压杆单元和弯剪平面梁单元的结果（式2-3和式2-28）简单集合而成。（2）位移函数和形函数①位移模式ijxy2356l14（2-41）xaau21362543xaxaxaavInstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2020/1/227②形函数式中形函数[N]为：eNvuf（2-42）6532