第七章期权定价(金融工程学-中央财大,李磊宁)

第七章期权定价像其他金融资产一样，期权的价值无非等于它可能取得的任何价值乘以该价值产生概率的加总。---洛伦兹•格利茨第七章期权定价第一节期权的价值边界确定期权价值的边界是期权定价的第一步，也是正确描绘期权价值曲线的基础。第七章期权定价（一）期权价格的上限1．看涨期权价格的上限：在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖出看涨期权的办法来获取无风险利润。因此，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。SCSc和第七章期权定价（一）期权价格的上限2．看跌期权价格的上限由于美式看跌期权的多头执行期权的最高价值为协议价格（X），因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X：由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不能超过X的现值：其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。XP)(tTrXep第七章期权定价（二）期权价格的下限1．欧式看涨期权价格的下限：由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为2．欧式看跌期权价格的下限：由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为]0,max[)(tTrXeSc]0,max[)(SXeptTr虚值期权SXe-r(T-t)实值期权SXe-r(T-t)平值期权S=Xe-r(T-t)价格上限价格下限时间价值Call价格SXe-r(T-t)put价格Xe-r(T-t)上限下限内在价值时间价值S第七章期权定价第二节看涨期权和看跌期权的平价关系看涨期权与看跌期权虽然分属不同的权利，但两者在价格上却有密切的联系。利用这种联系，在确定了看涨期权的价格以后，就能够推导出相应的看跌期权的价格，而不必单独为后者定价。第七章期权定价为了推导c和p之间的关系，我们考虑两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产)(tTrXe第七章期权定价STKSTKA组合：call价格存款价值ST–XX0X总价值STXB组合：put价格1单位标的资产0STX–STST总价值STX组合的表现第七章期权定价在期权到期时，两个组合的价值均相等。因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，下面的公式是看涨期权-看跌期权平价公式：SpXectTr)(第七章期权定价第三节布莱克-斯科尔斯期权定价模型1973年，F•Black和M•Scholes在他们著名的论文《期权定价与公司财务》中成功地将基础资产价格、执行价格、时间、波动率和无风险利率等因素用数学模型将看涨期权的价值计算出来了。这就是著名的B-S模型。第七章期权定价模型的推导资产价格变动的特征：资产价格的自然对数服从正态分布，我们称价格服从对数正态分布。：资产收益率的方差望资产年收益率的数学期正态分布资产收益率资产在起初的价格时的价格资产在220202000::),(:),(lnln),(lnlnNhStSNSSNSSSSheSSttttrt)1(222)(ln2222200)(0121)(exeDeExxfxexxf方差数学期望对于对数正态分布，其密度函数是：BAdSSfXedSSfSedSSfXSdSSfedCCfCeCEeCXttrXtttrXtttttXrtttrtr)()()()()(0)()(020202ln2)(,)(22SreSeeSSEeSErrtt22)]([2)2()2(222222)(21,ln121)(222224242222222222ln2)(2)(ln2222SSSSSSSSSdSeeASSdSeSSedSSfSeAXSSrttStXtrttXtrt令XSXSrdSeSdSeeeAln2)]([0ln2)]([22222222221dWdSSW][12）（做变换：2ln2lnln2/lnln)(ln)(222002020220ln)(20)(ln202222rXSNSArXSXrSXXNSAdWeSdWeSAXWXW，此式子通常简记为：）的密度函数，（是标准正态分布1021)(22NeWfWXln)(2)(ln2XAA2/)/ln(20rXSNXeBr我们用同样的方法可以求得B。需要说明的是，式中的r和σ是以1年为基数来计算的，如果期权有效期不是1年，就应该用rt和σ来代替式中的r和σ。ttdddNXedNSttrXSNXettrXSNSBACrtrt1221020200)()()2/()/ln()2/()/ln(注：2/)/ln(200rXSNSA概率rteXS概率概率SSrteXrteX期权的时间价值是两种概率的总和。第一种概率N（d1）是资产价格上升到执行价格之上的概率，第二种概率N（d2）是相对于执行价格，资产价格进一步下跌的概率。各种资产价格水平上的概率分布交叉图第七章期权定价第四节二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型是由J.C.Cox、S.A.Ross和M.Rubinstein于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。pSuS1-pSd第七章期权定价构造投资组合包括∆份股票多头和1份看涨期权空头当Su∆–ƒu=Sd∆–ƒd，则组合为无风险组合ƒudfSuSdSu–ƒuSd–ƒd第七章期权定价组合在T时刻价值为Su∆–ƒu组合现值应为：(Su∆–ƒu)e–rT组合现值的另外一个表达式为：S∆–f因此：ƒ=S∆–(Su∆–ƒu)e–rTudffSuSd1rtudfepfpfdudeptr将代入上式，可以得到：第七章期权定价在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：同样可以推得：(1)rtSepSupSd(1)rtepupd1rtudfepfpfSuSu2Su3SSSuSu2Su4SSdSd3SdSd2Sd2Sd4第七章期权定价得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。值得注意的是，如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。第七章期权定价假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。利用倒退定价法，可以推算出初始结点处的期权价值为4.48元。第七章期权定价为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。可以算出：1.12240.89090.507610.4924ttrtuedeedpudp56.1262.99504.4870.7079.3589.07070.70056.12044.555.4528.0721.9314.6435.36062.990502.6639.6910.3131.5118.50GA2.1544.556.950.63503.76DCB39.6910.35056.121.3044.556.3735.3614.64FE以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期划分成N个长度为的小区间，令表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值，同时用表示结点处的证券价格，可得：后，假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：t)0,0(ijNifijtijijdSu),(jimax(,0)jNjNjfXSud，t1,11,[(1)]rtijijijfepfpf