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新课程新高考新思路——谈新课程高三数学复习策略成都张平福一、现状调研简报（一）学生现状广泛的调研表明：第一轮新课程的高三学生的数学现状堪忧：由于客观上教师适应新课程变化的能力差异较大，对新课程的理解与掌握的能力、程度差异也比较大，导致了重点知识与思想方法教学错位（如数学1第三章）、盲目赶进度、基础知识与基本思想方法教学的深度不到位、训练不到位、甚至将《四川省普通高中数学学科教学指导意见（试行）》中明确要求选修不考的内容上了近一个学月（如理科2-2《导数及其应用》中的积分、理科选修2-3《统计案例》一章，文科增加《计数原理》等）以至于学生基础薄弱、基础知识与基本思想方法遗忘率高、数学能力偏低。从来没有哪一届高三学生的基础现状让人这样揪心——高三数学人面临的严峻形势是必须将一锅夹生饭煮成可口的香米饭，难啊！（二）教师现状1．第一轮实施新课程：都在摸到石头过河，怎么教的问题并未解决2．第一盘面对新考生：都在面对夹生饭，怎么复习的方法还有待探索3．第一次进行新高考：都在期待川版大纲，怎么考的问题悬而未决我们还有以前的从容与自信吗？二、新课程、新高考的再认识（一）对高中数学新课逻辑结构的再认识高中数学新课程必修与选修IA(即必修模块之数学1——数学5及选修系列1（文）和选修系列2（理）)的主干知识由函数主线、几何主线、概率与统计主线和算法主线这四条主线构成。（1）函数主线内容：集合（数学1）、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）（数学1）；基本初等函数II（三角函数）（数学4）、三角恒等变换（数学4）、解三角形（数学5）、数列（数学5）、不等式（数学5）、导数及其应用（选修1-1和选修2-2）；数系的扩充与复数的引入（选修1-2和选修2-2）。从高考角度看，函数主线的归宿在不等式，教学内容的内在逻辑关系如下。2.几何主线内容：立体几何初步（数学2）、平面解析几何初步（数学2）、平面上的向量（数学4）、圆锥曲线与方程（选修1-1和选修2-2）、空间中的向量与立体几何（选修2-2）。教学内容的内在逻辑关系如下。3.统计与概率主线内容：统计（数学3）、概率（数学3及选修2-3）、统计案例（选修1-2和选修2-3）、计数原理（选修2-3）。教学内容的内在逻辑关系如下。4.算法主线内容：算法初步（数学）、常用逻辑用语（选修1-1和选修2-1）、推理与证明（选修1-2和选修2-2）、框图（选修1-2）、算法思想在高中数学中的渗透。本部分是新增内容，虽然教材只安排了一章的教学内容，但算法在新课程中地位独特。《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“算法是一个全新的课题，已经成为计算科学的重要基础，它在科学技术和社会发展中起着越来越重要的作用。算法的思想和初步知识，也正在成为普通公民的常识。在必修课程中将学习算法的基本思想和初步知识，算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分。”由此可见算法在新课程中独特的地位：算法思想既是学生终身学习和发展的必备素质之一，也是学生学习高中数学的思维工具，更是学生解决数学问题的操作性原则。教学内容的内在逻辑关系如下。（二）认知吃透课标版大纲，正确认识新高考1.课标版大纲的知识要求层级的变化大纲版高考大纲“知识要求”原文知识是指《全日制普通高级中学数学教学大纲》所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其中的数学思想和方法．对知识的要求，依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次．（1）了解：要求对所列知识的含义及其背景有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能（或会）在有关的问题中识别它．（2）理解和掌握：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题．（3）灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题．课标版高考大纲“知识要求”原文知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称新课程标准）中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明.对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.（1）了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它.这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.（2）理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明，用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象，比较、判别，初步应用等.（3）掌握：要求对所列的知识内容能够推导证明，能够利用所学知识对问题能够进行分析、研究、讨论，并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.【说明】课标版相对于大纲版对知识的要求更明晰和简练，由大纲版的“了解、理解和掌握、灵活和综合运用”三个能力层级变更为“了解、理解、掌握”能力层级，并匹配了相应能力层次基于问题解决水平要求的行为动词．1.第一层级能力要求——了解相对与大纲版，课标版对“了解”层次的能力要求有所提高。课标版增加了“按照一定的程序和步骤照样模仿”及“并能（或会）在有关的问题中认识它”要求（增加了“认识”要求，“识别”对应与数学知识的直接使用，“认识”对应与知识及知识的相关性），对考纲上所列举的“了解”类知识点的问题解决能力要求对应的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.2.第二层级能力要求——理解课标版“理解”层次的能力要求对应于大纲版的“理解和掌握”层次的能力要求，考查要求有所提高。（1）课标版对“要求对所列知识内容有较深刻的理性认识”解读为“知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明，用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论”.（2）由大纲版“并能利用知识解决有关问题”具体化为课标版“具备利用所学知识解决简单问题的能力.”（3）由大纲版的“能够解释、举例或变形、推断”行为动词具体化为课标版的主要行为动词：“描述，说明，表达，推测、想象，比较、判别，初步应用等”.3.第三层级能力要求——掌握课标版“掌握”层次的能力要求对应于大纲版的“灵活和综合运用”层次的能力要求，考查要求更具体。（1）将大纲版“要求系统地掌握知识的内在联系”具体化为“要求对所列的知识内容能够推导证明”.（2）将大纲版“能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题”具体化为“能够利用所学知识对问题能够进行分析、研究、讨论，并且加以解决”.（3）课标版匹配了这一能力层次所涉及的主要行为动词：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.2.课标版大纲的能力要求的变化大纲版原文能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识．课标版原文能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换.对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想像能力高层次的标志.（2）抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或作出某项结论.抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断.（3）推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成，论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理，也包括合情推理.论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力.（4）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.（5）数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.（6）应用意识：能综合运用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.（7）创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.【说明】课标版的能力由大纲版的“思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识”五种能力变为“空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识”七种能力.其中新增加了“数据处理能力”，将大纲版的“思维能力”分解为“抽象概括能力”和“推理论证能力”，将大纲版的“运算能力”变更为“运算求解能力”，将大纲版的“实践能力”变更为“应用意识”.（1）空间想象能力：新课程强调几何直观，对“空间想象能力”位置前移，大纲版与课标版考查要求一致.要注意把握“空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力”的内核，结合课程标准“直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算”的学习要求，掌握文字语言、符合语言、图形语言的相互转化关系；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质——位置关系和度量关系．（2）抽象概括能力：是大纲版“思维能力”的有机组成部分之一.抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或作出某项结论.抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断.抽象概括的前提是对问题或资料进行观察、比较、分析、综合.（3）推理论证能力：是大纲版“思维能力”的有机组成部分之一.由大纲版“会用类比、归纳和演绎进行推理；能合