对偶单纯形法+灵敏度分析.

北京联合大学耿钰第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析北京联合大学耿钰第四节对偶单纯形法对偶单纯形法并不是求对偶问题解的方法，而是利用单纯形法求解规划问题时运用了对偶理论。也就是说：对偶单纯形法与单纯形法一样都是是求解线性规划的一种基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理设计出来的，因此称为对偶单纯形法。在了解对偶单纯形法的实质之前，我们回顾一下单纯形法。单纯形法开始于初始基可行解。如果不满足最优性条件，则要换基迭代转到能使目标函数值得到改善的邻近顶点上。在这个转换过程中，存在两个原则:一是首先保持原问题的解仍是可行的，另一个是要求目标函数值有改善。如何保证可行？项目非基变量基变量XBXNXS0XSbBNICj-ZjCBCN0项目基变量非基变量XBXNXSCBXBB-1bIB-1NB-1Cj-Zj0CN-CBB-1N-CBB-1初始单纯形表CBCN0单纯形法是在保持所有约束条件常数项总是保持大于等于零的情况（保证可行），通过迭代，使所有检验数小于等于零（求最大值），求得最优解。北京联合大学耿钰1、当原问题达到最优时，松弛变量经过上述转换后构成的检验数的相反数为其对偶问题的一个可行解，反之亦成立原问题表中的检验数满足最优性条件CN-CBB-1N≤0-CBB-1≤0;ATY≥CT;Y≥0YT=CBB-10..minYCYAtsYbbYwTTTT从上面可以看出：也就是说，当原问题达到最优时，对偶问题的解可行。并且根据对偶的性质，我们可以确定此时对偶问题也达到最优CB:1×mB-1：m×mCBB-1：1×mY：m×1项目非基变量基变量XBXNXS0XSbBNICj-ZjCBCN0项目基变量非基变量XBXNXSCBXBB-1bIB-1NB-1Cj-Zj0CN-CBB-1N-CBB-1初始单纯形表也就是：单纯形法计算时只要原问题可行（B-1b≥0），对偶问题可行（即检验数小于0），解就是最优解。单纯形法的基本过程就是保证原问题解可行的情况下，不停迭代，直至对偶问题也达到可行，此时原问题达到最优，对偶问题也达到最优北京联合大学耿钰根据刚才所说，单纯形法只要单纯形法计算时只要原问题可行（B-1b≥0），对偶问题可行（即检验数小于0），解就是最优解。所以，我们利用单纯形法对原问题求解时，如果首先保持对偶问题的可行性（即原问题检验数≤0），然后再看原问题是否可行，如果此时原问题的解不可行，则换基迭代，换基过程中保证对偶可行（检验数≤0），直至原问题由不可行解变为可行解，此时就得到它的最优解，——这就是对偶单纯形法的基本思想。第四节对偶单纯形法也就是说：对偶单纯形法是在保持原问题所有检验数都小于等于零的基础上，通过迭代，使原问题的解（即右边常数项）都大于等于零，从而求得最优解。北京联合大学耿钰第四节对偶单纯形法（2）初始解不可行，即右端常数项有负分量（如果原问题可行，则直接用单纯形法）使用对偶单纯形法必须满足两个条件：（1）单纯形表中的所有检验数必须符合对偶可行，即小于等于0北京联合大学耿钰①先找一个基，建立初始对偶单纯形表，使检验数全部非正，即C全部为非正；②若b列元素非负，则已经是最优基。反之，则换基迭代，直至原问题可行。第四节对偶单纯形法怎么做呢？北京联合大学耿钰例用对偶单纯形法求解43210242323443214321421,,,maxjxxxxxxxxxxxxZj该问题用单纯形法求解时，需要先化标准型，此时约束方程两边左边需要减去剩余变量，同时为了构造单位阵，需要添加人工变量，采用大M法求解。第四节对偶单纯形法思考：上面约束方程化为标准型后，两边乘以-1，就可得到单位阵。此时能否用单纯形法？原因?答：不能。因为此时右边常数项为负数，解不可行。为了保证初始解可行北京联合大学耿钰例用对偶单纯形法求解43210242323443214321421,,,maxjxxxxxxxxxxxxZj第四节对偶单纯形法能否用对偶单纯形法呢？对偶单纯形法初始对偶单纯形表只要保证对偶可行，即检验数全部非正即可。并不要求初始解可行，所以右边常数项可以非负，此题目价值系数均为负，意味着初始单纯形表格的检验数为负，而右端常数项又有负数，正好满足对偶单纯形法的要求。北京联合大学耿钰例用对偶单纯形法求解43210242323443214321421,,,maxjxxxxxxxxxxxxZj621024232346432154321421,,,maxjxxxxxxxxxxxxxxZj将约束方程化为标准型，再用（-1）乘不等式两边第四节对偶单纯形法北京联合大学耿钰cj-1-40-300CBXBbx1x2x3x4x5x600x5x6-3-2-1-21-11021-4-1010-1-40-300此时，初始单纯形表检验数均小于等于0，对偶可行，但原问题初始解不可行621024232346432154321421,,,maxjxxxxxxxxxxxxxxZj第四节对偶单纯形法初始对偶单纯形表cj-1-40-300CBXBbx1x2x3x4x5x600x5x6-3-2-1-21-11021-4-1010-1-40-300先选出基变量后选进基变量原问题不可行，应该换基迭代。但按对偶单纯形法的思想，每次均应保证检验数均非正1132411,,mincj-1-40-300CBXBbx1x2x3x4x5x6-10x1x63-812-11-100-3-2-32130-2-1-2-10北京联合大学耿钰cj-1-40-300CBXBbx1x2x3x4x5x6-10x1x63-812-11-100-3-2-32130-2-1-2-10-10x1x37417/205/2-2-1/203/213/2-1-1/270-1/20-1/2-2-1/2最优解X*=（7，0，4，0）TZ*=-7北京联合大学耿钰解：先将这问题化成下列形式，以便得到对偶问题的初始可行基（P）52104323243253214321321,,,j,xxxxxxxxxxxxzmaxj例6用对偶单纯形法求解0,,43232432min321321321321xxxxxxxxxxxxw（P）北京联合大学耿钰cj-2-3-400CBXBbx1x2x3x4x500x4x5-3-4-1-2-21-1-31001cj-zj-2-3-400θ0-2x4x1cj-zjθ-3-2x2x1cj-zj1-4/3---10-5/21/21-1/221-1/23/20-1/20-4-10-1-8/5--22/501-1/5-2/51/511/5107/5-1/5-2/500-3/5-8/5-1/5[][]T),,,/,/(X00052511单纯形表528-zw北京联合大学耿钰第四节对偶单纯形法使用对偶单纯形法求初始解时右边常数项可以为负，所以对于一些大于等于号的约束表达式不需要添加人工变量，只要两边同时乘上-1，就可用对偶单纯形法求解，简化计算，这是该方法的优点。缺点是很难找到一个初始解使得所有检验数都小于等于零，因而很少单独使用。北京联合大学耿钰1、什么是灵敏度分析？灵敏度分析是指系统或事物因为周围条件变化而显示出来的敏感程度分析。一、含义和研究对象第五节灵敏度分析北京联合大学耿钰在生产计划问题的一般形式中，A代表企业的技术状况，b代表企业的资源状况，而C代表企业产品的市场状况，在这些因素不变的情况下企业的最优生产计划和最大利润由线性规划的最优解和最优值决定。在实际生产过程中，上述三类因素均是在不断变化的，如果按照初始的状况制订了最佳的生产计划，而在计划实施前或实施中上述状况发生了改变，则决策者所关心的是目前所执行的计划还是不是最优，如果不是应该如何修订原来的最优计划。更进一步，为了防止在各类状况发生时，来不及随时对其变化作出反应，即所谓“计划不如变化快”，企业应当预先了解，当各项因素变化时，应当作出什么样的反应。第五节灵敏度分析北京联合大学耿钰1、什么是灵敏度分析？是指研究线性规划模型的某些参数(bi,cj,aij）或限制量（xj,约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程也称为优化后分析。一、含义和研究对象njjjxcz1max11,,01,,nijjijjaxbimxjn（）（）s.t.第五节灵敏度分析北京联合大学耿钰回答两个问题：①这些系数在什么范围内发生变化时，最优解不变？②系数变化超出上述范围，如何用最简便的方法求出新的最优解？2、灵敏度分析的研究对象：•目标函数的系数cj变化对最优解的影响；•约束方程右端系数bi变化对最优解的影响；•约束方程组系数矩阵A变化对最优解的影响；一、含义和研究对象北京联合大学耿钰1、在最终单纯形表的基础上进行；2、尽量减少附加的计算工作量；二、进行灵敏度分析的基本原则北京联合大学耿钰三、灵敏度分析的步骤原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解非可行解非可行解可行解非可行解可行解非可行解问题的最优解或最优基不变用单纯形法继续迭代求最优解用对偶单纯形法继续迭代求最优解引进人工变量，编制新的单纯形表重新计算1.先求问题的最优解.2.将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上来.3.检查原问题的可行解和检验数是否满足最优.4.依据不同情况决定继续计算或得到结论.北京联合大学耿钰4.分析增加一个约束条件的变化四、灵敏度分析的主要内容1.分析cj的变化2.分析bi的变化3.分析系数aij的变化5.分析增加一个变量xj的变化系数矩阵Anjjjxcz1max11,,01,,nijjijjaxbimxjn（）（）s.t.对偶问题决策变量的最优解影子价格：初始单纯形表最优单纯形表X*=B-1bCBCNBNXBXN非基变量基变量XsIjjcz0基变量基变量基可系数行解0XsbCBCNBNXBXN非基变量基变量XsIjjcz0基变量基变量基可系数行解0XsbXBI0基变量非基变量XBjjcz基变量基变量基可系数行解CN－CBB-1NB-1NB-1XNXsB-1bCB－CBB-1XBI0基变量非基变量XBjjcz基变量基变量基可系数行解CN－CBB-1NB-1NB-1XNXsB-1bCBXBI0基变量非基变量XBjjcz基变量基变量基可系数行解jjcz基变量基变量基可系数行解jjcz基变量基变量基可系数行解CN－CBB-1NB-1NB-1XNXsB-1bCB－CBB-1CN－CBB-1N≤0－CBB-1≤0原问题基变量的最优解：Z*=CBB-1b最优值：Y*T=CBB-1北京联合大学耿钰Y*T=CBB-1XBI0基变量非基变量XBjjcz基变量基变量基可系数行解CN－CBB-1NB-1NB-1XNXsB-1bCBB-1b－CBB-1Z*=CBB-1b'jjjjccc分析cj的变化原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解非可行解非可行解可行解非可行解可行解非可行解问题的最优解或最优基不变用单纯形法继续迭代求最优解用对偶单纯形法继续迭代求最优解引进人工变量，编制新的单纯形表重新计算00最优值可能已变北京联合大学耿钰x1,x2≥0maxs.t.2x1+2x2≤12z=2x1+3x24x1≤165x2≤15变化x1,x2≥0maxs.t.2x1+2x2≤12z=(2+λ1)x1+(3+λ2)x24x1≤165x2≤15jcBC基b23000i1xjjcz4x2x203301001/53101/201/5400214/500101/51x2x3x4x5x12当λ2=0时，将λ1反映在最终单纯形表中，可得011；12111从而，表中解仍为最优解的条件是01即当时问