弧长弦长与扇形面积弓形面积案例教学设计

1数学案例教学题目：弧长、弦长与扇形面积、弓形面积案例教学设计作者：左春香王瑞霞单位：唐山市丰南区职教中心教学内容分析：下料问题是机械专业每天都要遇到的实际生产问题。经常要遇到的是长度、周长、弧长、弦长、扇形、弓形面积和各种体积重量的计算等数学知识。本节数学课紧密地和生产实习的实例相联系，学生经过自己充分地思考和讨论后，能够更深刻地理解和记忆公式，掌握数学知识在专业生产中的应用。2教学目的：（1）通过学习掌握圆周长、弧长、弦长、扇形面积和弓形的面积的计算。（2）能熟练运用所学的数学知识解决机械专业中气割、钳工、钣金等工种的计算和下料等实际问题。教学重点：弧长、弦长、扇形面积、弓形面积的计算。实际生产问题和数学问题的联系。课时：2课时教学方法：讲练结合、理论联系实际教学用具：投影仪、黑板、硬纸板做成的两个防护罩和一个圆锥形的烟囱帽、胶片7张，如下所示：教学目标：①理解并熟练掌握本节课所学的数学知识。②会灵活应用这些知识解决实际问题。胶片1胶片1三角带传动，要安装防护罩，一种形状如左图所示，另一种如右图所示，尺寸要求已在图中标出，请计算下料时(1)所用材料的面积,（2）的侧面积（1）胶片2（2）2ABC3练习一：用钢板气割一个罐盖，形状如图所示，求气割长度。胶片33例1一带轮如图所示，在轮毂和轮缘之间焊接12根辐条，辐条用φ25mm的圆钢制成。求在轮缘d1=1600mm和轮毂d2=350mm上的辐条中心距lB1、lB2。∮∮∮胶片44αrOCB胶片5胶片54教学过程：[投影本节课的学习目标][出示胶片1]胶片77例2扇形钢板如图所示，求其面积。胶片66教学目标：①理解并熟练掌握本节课所学的数学知识。②会灵活应用这些知识解决实际问题。胶片1胶片15案例引入：[出示胶片2]（并用硬纸板按尺寸或比例做两个模型向学生展示，让学生边观察边回答问题）。提出问题：[单独提问][师]：左图中有几个侧面？是什么形状？[生甲]：3个，A和B是扇形的一部分，展开后C可能是矩形。[师]：回答得很正确，如何计算各侧面的面积和全面积？[生乙]：要计算它的侧面积需要掌握扇形的面积公式，全面积当然就是矩形面积和另两个侧面积之和。[师]：有道理，可是，你知道那个矩形的长是多少吗？如何计算？[生丙]：要计算它的长度还需要掌握弧长公式。[师]：右图中的前后侧面是什么形状？它的面积如何计算？[生丙]：前后侧面是弓形[师]：用气割方法下料时气割长度各是多少应如何计算？[生丁]：是各面边线长度的总和。引入数学知识：[师]：要解决这些问题，要用到数学中，弧长、弦长、扇形的面积的计算等。这次课我们就介绍这些知识，同时，共同探讨一下机械专业中有关的下料问题复习导入：[出示胶片3]三角带传动，要安装防护罩，一种形状如左图所示，另一种如右图所示，尺寸要求已在图中标出，请计算下料时(1)所用材料的面积,（2）的侧面积（1）胶片2（2）2ABC6（让学生独立完成，找个别同学回答）[生]：气割长度为大圆和小圆的周长之和。L=π×250＋π×1500=1750π=5497.8mm[师]：刚才这个问题中，复习了圆周长计算公式：[板书]：圆的周长：L=πd=2πr（d为直径）[出示胶片4][师]：这个长度还是一个完整的周长吗？[生]：答：不是。[师]：请同学们看图，在轮缘上和轮毂上两个辐条中心的部分是什么图形？[生]：是圆弧。[师]：弧的长度应如何计算？本节课我们先研究这个问题。[板书]：一、弧长练习一：用钢板气割一个罐盖，形状如图所示，求气割长度。胶片33例1一带轮如图所示，在轮毂和轮缘之间焊接12根辐条，辐条用φ25mm的圆钢制成。求在轮缘d1=1600mm和轮毂d2=350mm上的幅条中心距lB1、lB2。∮∮∮胶片447[师]：360o的圆心角所对的弧长就是圆周长L=πd=2πr，那么1o的圆心角所对的弧长是多少？[生]：2π360r=π180r[师]：于是可得半径为r（直径为d）的圆中，o的圆心角所对的弧长Ln的计算公式：是什么？[生]：Ln=π180r=π360d[板书]：360o的圆心角所对的弧长即圆周长L=πd=2πr，1o的圆心角所对的弧长是2π360r=π180r。半径为r（直径为d）的圆中，o的圆心角所对的弧长Ln=π180r=π360d[师]：有了弧长公式，例1中的问题可迎刃而解了。[经学生讨论后得出结论并找学生板演]例1解：两根辐条间所夹的圆心角=12360=30o,轮缘上两根辐条中心距弧长L1=1π30360d=π160012=418.88mm轮毂上相邻辐条中心距弧长L2=2π30360d=π35012=91.63mm[师]：事实上弧与角很难测量，故实际工作中常以弦长为检验尺寸，在一圆周上n等分，求弦长就是圆的内接正n边形的边长。那么弦长如何计算呢？[出示胶片5]αOBCr胶片5胶片58[师生共同分析]：∵在Rt△BOC中，∠BOC=2，BC=2L，∴rL2=rL2=sin2∴L=2rsin2=dsin2[板书]：二、弦长公式由rL2=rL2=sin2得o的圆心角所对的弦长L=2rsin2=dsin2其中圆心角=n360，则L=dsinn180.[师]那么例1中若求轮缘和轮毂上的中心距弦长如何计算？[找学生板演][生]解：设它们分别为l1和l2，则l1=d1sin12180=1600×sin15o=414.11mml2=d2sin12180=350×sin15o=90.59mm评注：如果再求两辐条间间隙距离，只要把上面的值分别减去φ25mm即可。[出示胶片6]例2有一块钢板如图所示，求其面积。胶片669[师]通过观察，我们看出这块钢板面是什么图形？[生]大扇形中去掉了一个小扇形。[师]那么我们要求钢板的面积，就得知道扇形的面积如何计算，下面我们探讨扇形的面积公式。同学们知道扇形是什么图形的一部分吗？[生甲]圆的一部分。[师]整个圆的圆心角是多少度？[生]360o[师]再接着想一想，在半径为r的圆中，圆心角为1o的扇形的面积是多少？[生]2π360r[师]那么圆心角为o的扇形的面积是多少？[生]2π360r[板书]三、扇形面积公式由圆心角为1o的扇形面积2π360r得圆心角为o的扇形面积公式为2π360rS扇[师]弧长公式与扇形面积公式有什么关系？[生]两公式中都含有π180r=Ln。[师]那么我们又得出了扇形的另一个面积公式为：[生]S=21Lnr(教师板书添上此公式)S扇=3602r=21Lnr[师]有了这个公式，上面的问题就很简单了（请一位同学板演）。解：钢板的面积S=2π360r=)64620(36014.37222=238952mm2=0.239m210[出示胶片7][师]上面三个图中阴影部分是什么图形呢？这三个图形都是弓形，它和我们看到的哪件物品有关系？[生]它和第二个防护罩的侧面是一种图形。[师]可见要解决开始提出的问题，我们还得学习弓形的面积公式。同学们接着观察上面的三个图形中，弓形的面积和扇形的面积有何关系？[生]把扇形OAmB的面积以及△OAB的面积计算出来，就可以得到弓形的面积，图（1）中，弓形AmB的面积小于半圆的面积，这时S弓形=S扇－S△ABC,图（2）中，弓形AmB的面积大于半圆的面积，这时S弓形=S扇＋S△ABC,图（3）中，弓形AmB的面积等于半圆的面积，这时S弓形=21S圆。[板书]四、弓形面积公式（1）弓形AmB的面积小于半圆的面积，这时S弓形=S扇－S△ABC,（2）弓形AmB的面积大于半圆的面积，这时S弓形=S扇＋S△ABC,（3）弓形AmB的面积等于半圆的面积，这时S弓形=21S圆。[师]同学们，通过我们共同探讨和总结得出了哪些结论呢？[生]弧长公式、弦长公式、扇形面积公式、弓形面积公式。[师]我们掌握了这些知识是非常重要的，而且有些公式不可死记，要理解它的推导过程，同时可以促进我们逻辑推理能力的提高。当然，也可以很容易地解决本次课开始提出的问题了。胶片7711[出示胶片2]并展开硬纸片做成的模型（1），把各个面展示给学生，让学生求其全面积，(学生板演)。解：S侧=2135π480360－2135π85360=262788.56mm2S全=2×S侧＋120×2135π480360=593401.12mm2展开模型（2），让学生求其侧面积，学生板演。解：S侧=2135π400360－21×2×400sin2135O=131840mm2[课下思考题][师][拿出做好的烟囱帽模型]，这是一个做好烟囱帽模型，谁能看出它是什么形状？[生]是圆锥形。[师]如果沿一条母线展开这个模型，展开后是什么形状呢？[沿一条母线展开这个模型][生]是扇形。[师]如果已知这个圆锥形的底边周长和母线长，要用铁片做一个烟囱帽，应如何下料？留作课下思考。本节小结：通过本次课的学习，大家应理解对弧长公式，弦长公式，扇形面积公式，弓形面积公式的推导，识记这些公式，并会灵活的应用到实际生活、生产中。三角带传动，要安装防护罩，一种形状如左图所示，另一种如右图所示，尺寸要求已在图中标出，请计算下料时(1)所用材料的面积和（2）的侧面积（1）胶片2（2）2ABC12板书设计：布置作业：1．要气割一块如图（1）所示的钢板求气割的总长度。2．型钢横断面如图（2）所示，求其面积。（1）（2）弧长、弦长与扇形面积、弓形面积复习：圆的周长L=πd=2πr一、弧长公式：Ln=π180nr=π360nd（及推导过程）二、弦长公式：L=2rsin2=dsin2（及推导过程）（其中圆心角=n360，则L=dsinn180）.三、扇形面积公式：S扇=2π360r=21Lnr（及推导过程）四、弓形面积公式：（1）弓形AMB的面积小于半圆的面积，这时S弓形=S扇－S△ABC,（2）弓形AMB的面积大于半圆的面积，这时S弓形=S扇＋S△ABC,（3）弓形AMB的面积等于半圆的面积，这时S弓形=21S圆。1133．连接件样板如图（3）所示，求样板面积。4．防护罩如图（4）所示，求其侧面积。（3）（4）