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弯矩、剪力与分布荷载集度问的关系直梁的受力如图2-11所示，以梁的左端为坐标原点，设x轴指向右为正，以向上为正。今在的作用区域内取出一微段，设微段左侧面上的剪力、弯矩分别为、，则右侧面上内力相应的增加一增量，分别为+及+。由于很小，微段上的荷载集度可视为均布。根据平衡方程可得略去二阶无穷小后，可得26从式(2-10)、式(2-11)又可得以上三式称为平面荷载作用下的平衡微分方程，它们所代表的微分关系在直梁中是普遍存在的。若将坐标原点取在梁的右端，x轴以向左为正，则式(2-10)、式(2-11)的右端应各加一负号。但式(2-12)则不因坐标指向的改动而影响其正负号。从数学分析中可知，式(2-10)和式(2-11)的几何意义分别是：剪力图上某点处切线的斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线的斜率等于该点处剪力的大小。根据这些关系及式(2-12)，可得出在常见情况下，梁上荷载、剪力图、弯矩图三者间的一些关系：(1)如梁上某一段受向下的均布荷载作用，即为负值常数时，根据式(2-10)可知，剪力图为一向右下方倾斜的直线。当规定弯矩图纵坐标以向下为正时，由式(2-11)可知，梁的弯矩图为一下凸的二次抛物线。例题2—7中的剪力图、弯矩图即是如此。(2)若梁上某一段无荷载作用，即=0。仿照上述分析可知，其剪力图必为一水平直线(剪之为常数)。而弯矩图则必为一倾斜直线，当0时，弯矩图为一向右下方倾斜的直线(见例题2-6图所示)．反之，弯矩图为一向右上方倾斜的直线。(3)对应于的横截面，该截面上弯矩为极大值或极小值。但需指出，对全梁而言，极值弯矩不一定是最大值弯矩。最大弯矩可能发生在Q∞=0的截面上，也可能不在此截面上，而在集中力(包括支反力)或集中力偶作用处的横截面上。现将梁的弯矩、剪力、荷载间关系及前面几个例题中所见到的Q、M图特征整理得表2—1。利用荷载集度、剪力、弯矩三者间的微分关系，可以不必写出剪力和弯矩方程，而方便地绘制梁的剪力图和弯矩图。我们称这种作图方法为简易洁。下面举例说明其应用。例题2．8一外伸梁受均布荷载和集中力的作用，试用简易法做此梁的剪力图和弯矩图。解：利用平衡方程，求得由于此梁分和两段，段作用有向下的均布荷载，故剪力图是向右下方倾斜的直线。段上无荷载，所以剪力图是水平直线。因此只要知道几个特殊截面的剪力值就可画出剪力图。根据以上几个特殊截面上的剪力值，画出剪力图如例题2．8图(b)所示。由图(b)可知，Q=0的横截面位置距离点为。段梁上有向下的均布荷载作用，该段弯矩图是下凸的二次抛物线。在=的截面处，弯矩有极值，段上无荷载作用，弯矩图为一根斜直线，该段由于，所以是向右上方倾斜的直线。故只要知道了以下几个截面上的弯矩值，就可以画出弯矩图。弯矩图如例题2-8图(c)所示。在A截面右侧，=。最大弯矩在截面上，即处。