弹性力学习题提示和答案

《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章………………………………………………2第三章………………………………………………3第四章………………………………………………5第五章………………………………………………6第六章………………………………………………8第七章………………………………………………9第八章………………………………………………10第九章………………………………………………122第二章习题的提示与答案2－1是2－2是2－3按习题2－1分析。2－4按习题2－2分析。2－5在0M的条件中，将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。2－6同上题。在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。2－7应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。2－8在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。2－9在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。2－10参见本章小结。2－11参见本章小结。2－12参见本章小结。2－13注意按应力求解时，在单连体中应力分量,,xyxyσσ必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设σSS)。2－14见教科书。2－15见教科书。2－16见教科书。2－17取3223120,,6().4yxxyMFσσyxyIhQSFhybIh它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和2hy的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。2－18见教科书。2－19提示：求出任一点的位移分量u和v，及转动量，再令0xy,便可得出。3第三章习题的提示与答案3-1本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力,,yxff从而得出这个应力函数所能解决的问题。3-2用逆解法求解。由于本题中lh,x=0,l属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。3-3见3-1例题。3-4本题也属于逆解法的问题。首先校核Φ是否满足相容方程。再由Φ求出应力后，并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是：主要边界：,0)(,0)(2/2/hyyhyyx所以在2/hy边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力；,)(2/qhyy上边界有向下的法向面力q。次要边界：,0)(0xxyx=0面上无剪切面力作用；),534()(220hyhyqxx但其主矢量和主矩在x=0面上均为零。因此，本题可解决如习题3-10所示的问题。3-5按半逆解法步骤求解。（1）可假设。0x（2）可推出。)()(1xfxyfΦ（3）代入相容方程可解出f、1f，得到。)()(2323FxExCxBxAxyΦ（4）由Φ求应力。（5）主要边界x=0,b上的条件为。qbxxyxxybxx)(,0)(,0)(0,0次要边界y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为。0)(,0)(,0)(000000dxxdxdxybyxybyyby读者也可以按xy或y的假设进行计算。3-6本题已给出了应力函数Φ，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。在2/bx各有两个应精确满足的边界条件，即.)(,0)(22qbxxybxx4而在次要边界y=0上，0)(0yy已满足，而0)(0yyx的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0，使本题无解），可用积分条件代替：.0)(022ybbyx3-7见例题2。3-8同样，在tany的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。3-9本题也应先考虑对称性条件进行简化。3-10应力函数Φ中的多项式超过四次幂时，为满足相容方程，系数之间必须满足一定的条件。3-11见例题3。3-12见圣维南原理。3-13m个主要边界上，每边有两个精确的应力边界条件，如式(2-15)所示。n个次要边界上，每边可以用三个积分的条件代替。3-14见教科书。3-15严格地说，不成立。5第四章习题的提示和答案4-1参见§4-1，§4-2。4-2参见图4-3。4-3采用按位移求解的方法，可设(),uu0,φu代入几何方程得形变分量，然后再代入物理方程得出用位移表示的应力分量。将此应力公式代入平衡微分方程，其中第二式自然满足，而由第一式得出求u的基本方程。4-4按应力求解的方法，是取应力为基本未知函数。在轴对称情况下，0，只有,为基本未知函数，且它们仅为的函数。求解应力的基本方程是：(1)平衡微分方程(其中第二式自然满足)，(2)相容方程。相容方程可以这样导出：从几何方程中消去位移，得,dd再将形变通过物理方程用应力表示，得到用应力表示的相容方程。4-5参见§4-3。4-6参见§4-3。4-7参见§4-7。4-8见例题1。4-9见例题2。4-10见答案。4-11由应力求出位移，再考虑边界上的约束条件。4-12见提示。4-13内外半径的改变分别为(),(),rRuu两者之差为圆筒厚度的改变。4-14R为位移边界条件。4-15求出两个主应力后，再应用单向应力场下圆孔的解答。4-16求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。4-17求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。4-18见例题3。4-19见例题4。6第五章习题提示和答案5-1参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。5-2参见书中的方程。5-3注意对称性的利用，取基点A如图。答案见书中。5-4注意对称性的利用,并相应选取基点A。答案见书中。5-5注意对称性的利用，本题有一个对称轴。5-6注意对称性的利用，本题有二个对称轴。5-7按位移求微分方程的解法中，位移应满足：(1)us上的位移边界条件，(2)σs上的应力边界条件，(3)区域A中的平衡微分方程。用瑞利-里茨变分法求解时，设定的位移试函数应预先满足(1)上的位移边界条件，而(2)和(3)的静力条件由瑞利-里茨变分法来代替。5-8在拉伸和弯曲情况下，引用1dd2xxAUσxy的表达式，再代入书中的公式。在扭转和弯曲情况下，引用1dd2xyxyAUxy的表达式，再代入书中的公式。5-9对于书中图5-15的问题，可假设123()()[],uxxayybAAxAy123()()[].vxxayybBBxBy对于书中图5-16的问题中，y轴是其对称轴，x轴是其反对称轴，在设定u、v试函数时，为满足全部约束边界条件，应包含公共因子2222()()xayb。此外，其余的乘积项中，应考虑：u应为x和y的奇函数，v应为x和y的偶函数。5-10答案见书中。5-11在u,v中各取一项,并设0u时,用瑞利-里茨法得出求解的方程是1110,dd.yAUUfvxyAB代入yUf和后,上两式方程是72111118150,6.752ρgaABABE解出2211175225,.2533533ρgaρgaABEE位移分量的解答为2333322222175()(),2533225(1)(1).533gaxxyyuEaaaagaxyvEaa应力分量为222222222222175(13)(1),2533450(1),533225175[(1)(1)(13)].5334533xyxyxyσgyaaxσgyayxygxaaa8第六章习题的提示和答案6-1提示：分别代入(,,)iNijm的公式进行运算。6-2（3）中的位移，一为刚体平移，另一为刚体转动，均不会产生应力。其余见书中答案。6-3求i结点的连杆反力时，可应用公式,,(),iinnenijmFkδe为对围绕i结点的单元求和。6-4求支座反力的方法同上题。6-5单元的劲度矩阵k，可采用书中P.124式（g）的结果，并应用公式,ijijeKk求出整体劲度矩阵的子矩阵。6-6求劲度矩阵元素同上题。应力转换矩阵可采用书中P.127的结果。6-7求劲度矩阵元素可参见P.124式（g）的结果，再求出整体劲度矩阵元素ijijeKk。答案见书中。6-8当单元的形状和局部编号与书中图6－10相同时，可采用P.124式（g）的单元劲度矩阵。答案：中心线上的上结点位移16,5FvE下结点位移245FvE。6-9能满足收敛性条件，即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变，还在单元的边界上，保持了相邻单元的位移连续性。9第七章习题的提示和答案7-1答案：2211,23.33nnσΘΘΘ7-2提示：原(x,y,z)的点移动到(x+u,y+v,z+w)位置，将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面方程。7-3见本书的叙述。7-4空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移，应考虑它们在导出方程时的贡献。7-5对于一般的空间问题，柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在，且它们均为的函数。在列方程时,,z应考虑它们的贡献。10第八章习题的提示和答案8-1提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设σss)。柱体的侧面，在（x,y）平面上应考虑为任意形状的边界（n=0,l,m为任意的），并应用一般的应力边界条件。8-2提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设σss若为多连体，还应满足位移单值条件。由于空间体为任意形状，因此，应考虑一般的应力边界条件（7-5）：法线的方向余弦为l,m,n，边界面为任意斜面，受到法向压力q作用。为了考虑多连体中的位移单值条件，应由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。8-3见§8-2的讨论。8-4从书中式（8-2）和（8-12）可以导出。由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性。8-5为了求o点以下h处的位移，取出书中式（8-6）的zu，并作如下代换22,,d2πdzhRaFFq，然后从o→a对积分。8-6引用布西内斯克解答，在z=0的表面上的沉陷是201()zzFuE。（1）求矩形中心点的沉陷，采用图8-9（a）的坐标系，22,xydddFqxy代入并积分，2/2/2022/2/22/2/222/2/222222/22/2(1)dd(1)dd(1)24ln()d,bababababbqxyExyqxyExyaayayqyEy再应用部分积分得到，202(1)(arsinharsinh)qabbaEba。11（2）求矩形角点处的沉陷，采用图8-9(b)的坐标系，2022002(1)dd(1)(arsinharsinh)abqxyExyqabbaEba。8-7题中Φ已满足边界条件()0,sΦ再由222,AΦGKΦdxdyM及便可求出切应力及扭角等。8-8题中Φ能满足两个圆弧处的边界条件()0.sΦ然后，相似于上题进行求式解A为B的两倍。8-9分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答，和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答；并由22ar，得出ar代入后进行比较即可得出。8-10参见§8-8的讨论。b/2b/2o22yxdxdyxyyxba22yxdydx(a)(b)a/2a/212第九章习题提示和答案9－1挠度w应满足弹性曲面的微分方程，x=0的简支边条件，以及椭圆边界上的固定边条件，(,)0swwn。校核椭圆边界的固定边条件时，可参见例题4