弹性力学期中测验部分试题解答

弹性力学期中测验部分试题解答春暖花开1.利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程（无体力）。解：基本关系和单位矢量关系为：，.将看作的函数，对基本关系对和分别求偏导，得：由上面得到的结果以及求导连锁法则可得：（1）极坐标下应力分量（）与直角坐标下应力分量（）有关系：（2）将（1）、（2）代入直角坐标下平衡方程有：（3）完成（3）式的运算，得：（4）方程组（4）可以看作括号内量的齐次方程组，其系数矩阵的行列式为从而齐次方程组（4）的只有零解，即这就是极坐标下的平衡方程。2.利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。解：直角坐标下位移分量（）与极坐标下位移分量（）的关系式如下：（6）一方面，将（6）式和（1）式代入到直角坐标下的几何方程并进行整理，可得到（7）另一方面，利用不同坐标系下应变分量的转换关系式，也可得极坐标下应力分量（）与直角坐标下应力分量（）之间的关系：（8）由（7）和（8）可以消去，并进行适当的整理可以得到（9）与平衡方程的讨论一样，可以将（9）看作括号内量的齐次方程组，并验证得到其系数行列式故齐次方程（9）只有零解，从而这就是极坐标下的几何方程。注：导出极坐标下的平衡方程和几何方程，一般而言有三种方案：其一是在极坐标系下直接利用物理和几何得到；其二是将平衡方程和几何方程的张量形式在极坐标下投影即可；其三就是本答案的写的，利用坐标变换获得。三种方案各有优缺点。3.已知，其他应力分量为零，求位移场。解：由本构关系可以得到（10）由（10）的前三个方程分别对积分，得（11）（12）（13）将（11）、（12）代入（10）的第四个方程中，可得稍作整理就可得到：此方程的左边的自变量为，右边的自变量为，等式要恒成立则要求两边只能是自变量的函数，故可以令：将这两个方程分别对积分就得到（14）将（14）代入到（10）的第五、六个方程中，分别得到即：（15）（16）一方面，对（15）求x偏导，对（16）求y偏导，得到从而可得：，即（为常数）（17）另一方面，（15）、（16）两等式的左边均只为的函数，从而要求等式的左边不能有含z的项，也就是说（均为常数）将上两式分别对z积分后有（18）（19）其中均为常数。综合以上两个方面的讨论，（15）、（16）可以化简为积分就可以得到（20）将（18）、（19）代入到（14）的两个方程中，可以得到（21）（22）最后将（22）、（21）、（20）分别代入（11）、（12）、（13）就得到了