第9节对流体力学欧拉运动方程式的修正(探讨)内容提要:本文是探讨性的论文。观念正确如否有待学界审视及实践的检验。流体力学的欧拉运动方程式有修正的必要吗?首先,欧拉运动方程式是在《场论》只具有散度和旋度的数学基础为背景的产物;其次,人们注意到,航天器在飞行运动中存在一未知的莫铭的力。这个莫铭的力应该是欧拉方程尚未虑及的因素造成的。作者在研究《超变函数论》过程中揭示了在三维向量场中除了散度、旋度外尚存在一个为目前所未知的副冲量度【见文献3】。我们所提出的修正意见就是从这里切入的,即在考虑存在副冲量度这一因素后,欧拉运动方程式应该发生怎样的变化。关键词:理想流体,时变加速度,位变加速度,欧拉运动方程式,副冲量度,冲量力,压扁的四维空间.分类号:一,现在的欧拉运动方程式[见文献4,第77页]在理想流体场中取出一微小六面体流体微团。微团中心的压力为,速度为,,xyz。微团所受的力有表面力(压力)和体积力(质量力)。六面体各面所受的表面力如下图所示。体积力为,,xyzFFF。设单位质量的的体积力为X,Y,Z,则在x轴方向微团所受的力为()()22()dxdxXdxdydzdydzdydzxxXdxdydzx在x轴方向微团产生加速度的运动力为xddxdydzdt【注:其中,总加速度yxxxzyxxzxyzdxyzdttxtytzttxyz该式右侧第一项称为时变加速度;第二、三、四项总称为位变加速度。】根据牛顿第二运动定律,二者应相等,即()xdpXdxdydzdxdydzxdt同理可推导yz、轴方向力的平衡,于是得到下式111xyzdpXxdtdpYydtdpZzdt(1)用向量表示,则为1-sDgradpDt(2)其中s=i+j+kXYZ这就是理想流体的运动方程式,又称欧拉运动方程式.二,副冲量度的概念本文将用三维向量场的副冲量度来重新审视欧拉运动方程式.因而,在此简要介绍副冲量度的概念.现考查流速场(,,)(,,)(,,)PxyzQxyzRxyzPQRAij+k=i+j+k的积分:Adv为副法线方向的单位向量。与切线方向的单位向量与法线方向单位向量n的关系是以右手法则(按附图)确定的:为空间曲线L某点处的切线方向的单位向量;∑是张在曲线L上的光滑的有向曲面,∑的外侧法线单位向量为n。令1n但因与n不一定垂直,所以1不是单位向量,故取1111||||n=1βββ从而使为副法线方向的单位向量。我们首先来说明上面所给积分的物理意义。当()M表空间的流速场时,设流体密度1,则体元dVdm(dm代表体元dV中的流体质量元)。现设(1,2,)iVin是空间的一个任意分割,则()iiiMVA就表示质量为()iiVm的流体在i方向的冲量,记为()iiiiHMVA(1,2,)in总冲量1niiHH若该极限存在,则记为01liminiViHH于是可知,对流速场而言,Adv表中的流体在副法线方向上的冲量。定理:设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,又设L为分段光滑的空间区域的界面上的一条闭曲线,L的正向与的侧符合右手法则,其中(,,)Pxyz、(,,)Qxyz、(,,)Rxyz在包含曲面在内的空间区域内具有一阶连续偏导数,则对内的向量场A=i+j+kPQR有(3)式()()cos()()cos()()cosARdvQPRPRQPQyZzxPRQRdxy(3)其中d——四维空间的“体元”cosd——d在yoz平面上的投影cosd——d在zox平面上的投影cosd——d在xoy平面上的投影并且111cos2||cos2||cos2||dydzdVdKdLdzdxdVdKdLdxdydVdKdL记1,则()()cosAdVQPRPyz()()cosRQPQzx()()cosPRQRdxy【注1】以上定理的证明可查[文献3].但请注意(4)式是[文献3]相应公式的修正.经简单推导,可得122221222212222cos,[()()()]cos,[()()()]cos[()()()]dydzdydzdxdzdxdydxdzdydzdxdzdxdydxdydydzdxdzdxdy(4)由此得到一个单位向量0coscoscosij+k,并且可以看出0的方向余弦与(上述行文中的)1|与K无关。【注2】定理又给出一类四维空间.其微元122221()()()2||dydzdxdzdxdydVdKdL它与1|与K有关【注3】定理左端的积分域,应视为四维空间域的“界面”。因此,下面的积分AdV应在积分号上加上个扁圆圈。对(3)式右端使用积分中值定理,可得冲量密度的极限:lim()()cos()()cosMHQPRPRQPQyzzx=+(*)其中,为内任一点;表的容积.上式表明,在给定点处,R的方向指示冲量密度最大的方向。于是有定义:若向量场PQRAijk中的一点M处存在这样的向量R,向量场A在点M处的冲量密度为最大,则称向量R为向量场A在点M处的副冲量度。记作()()()()RA=i+jvdbiQPPRRQQPyzzx()()PRRQxy+k(5)且定理3的另一形式为0AAdVvdbid于是,对三维空间向量场,不单存在着散度Adiv,旋度Arot,尚存在一个副冲量度Avdbi。【注4】上述定理最后归结为一个四重积分.其积分域是压扁了的四维空间.因而,我们所说的的冲量密度是四维密度.无论如何,我们只能实测到三维密度.这就涉及到一个非常的概念:三维密度的实测现实,逼迫我们将(*)式左端降低一维,这就相当于使右端带有量纲L.从而知,副冲量度Avdbi是带有量纲L的.一,对欧拉运动方程式的修改为了与所录文献的符号相统一,现将(5)式记为()()()()R=i+jyxxzzyyxvdbiyzzx其中,流速场zij+kxy注意到副冲量度Avdbi是带有量纲L的.故可知,在量纲上vdbi的三个分量皆表速度(LT)。据此,上面图示的微团在x轴方向又将产生一个附加的加速度的运动力:()()yxxzddxdydzdtyz(6)我们称其为冲量力。根据牛顿第二运动定律,二者应相等,即()()()xyxxzdpXdxdydzdxdydzxdtddxdydzdtyz()()()xyxxzdpdXdxdydzdxdydzdxdydzxdtdtyz于是,(1)式应修改为()()+kxzzyxy1()()1()()1()()xyxxzyzyyxzxzzydpdXxdtdtyzdpdYydtdtzxdpdZzdtdtxy(7)用向量表示,则为1-sDDgradpvdbiDtDt(8)其中s=i+j+kXYZ(8)式右端第二项与第一项一样,也包括时变加速度和位变加速度这两类加速度.这就是修改后的理想流体欧拉运动方程式.参考文献[1]于涤尘《超变函数论探讨》Int.J.Appl.Math.Stat.;Vol.13;No.S08;September2008;95-113ISSN0973-1377(Print),ISSN0973-7545(Online)Copyright.2008byIJAMAS,CESER[2]于涤尘《超变函数的四个等价命题》,Int.J.Appl.Math.Stat.;Vol.13;No.S09[3]于涤尘《超变函数论》与《场论》的关系Int.J.Appl.Math.Stat.;Vol.13;No.S10[4]郑洽馀鲁钟琪著《流体力学》,清华大学热能工程系,机械工业出版社,1980年3月第一版