对称,到角公式,夹角公式专题

《直线方程》补充材料——“到角”公式，“夹角”公式，直线对称、翻折问题一、“到角”公式，“夹角”公式及其应用.①“到角”的概念：1l围绕12,ll的交点按逆时针方向转动，第一次和2l重合时扫过的最小正角，称作1l到2l的角。的范围：0180（“到角”只研究两直线相交的情况，0且180）②到角公式：设12,ll的斜率分别是12,kk，1l到2l的角，则2121tan(90)1kkkk③1l与2l的夹角：规定形成角中不大于的90角叫两条直线的夹角。①1l与2l相交不垂直时的解锐角，090；1l与2l相交垂直时：90；所以的范围：090；夹角公式：2121tan(90)1kkkk④“到角”公式，“夹角”公式使用范围：12,,均不等于90不适于使用公式的情形，常用数形结合解决。如求1:3lx与2:26lyx的夹角⑤若告诉两相交直线方程为一般式即1111:0,lAxByC2222:0,lAxByC其中1122220,ABABAB求1l与2l夹角可以利用方向向量或法向量的刻画两条直线的夹角．1l的方向向量为a11(,)BA，2l的方向向量为b22(,)BA，1l与2l的夹角为，方向向量121222221122()()cos||||()()BBAAababBABA1l的方向向量为11(,)AB，2l的方向向量为22(,)AB，1l与2l夹角为，121222221122cos||||AABBBABA例1已知三角形ABC三点的坐标分别为(1,2),(0,3),(3,6)ABC，求A角平分线的直线方程.例2等腰三角形一腰所在直线1l：220xy，底边所在直线2l：10xy，点(2,0)在另一腰上，求这腰所在直线3l的方程.12122l1l例3求直线20xy关于直线210xy对称的直线方程.例4直线l过点(1,0)且被两条平行直线360xy和330xy所截得的线段长为9，求直线l的方程.二、直线上两点的距离公式.已知直线ykxb上有两点1122(,),(,)AxyBxy，那么2222121212122222121212122221212()()()[()]()[()]()()(1)()(1)||ABxxyyxxkxbkxbxxkxbkxbxxkxkxkxxkxx即212(1)||ABkxx1212,(0)ybybxxkkk2212121221(1)||(1)||(1)||(0)ybybABkxxkyykkkk即1221(1)||(0)AByykk例5已知直线4(2)ykxk与曲线23yxx有交点吗，若有交点，交点距离的取值范围是多少？三、点关于点的对称问题方法：解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解.另外此题有可以利用中点的性质ABBC，以及,,ABC三点共线的性质去列方程来求解.点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.例6求点(2,4)A关于点(3,5)B对称的点C的坐标.四、点关于直线的对称问题方法：点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于1，②两点的中点在已知直线上.例7求点(1,3)A关于直线:230lxy的对称点A的坐标.五、直线关于某点对称的问题方法一：利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出常数项.方法二：转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.，使问题解决.例8求直线211160xy关于点(0,1)P对称的直线方程.六、直线关于直线的对称问题方法：直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交.对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解或利用平行直线间的距离公式求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”公式求出斜率，或是转化为点关于直线对称问题.例9求直线1:10lxy关于直线2:10lxy对称的直线l的方程.例10试求直线1:20lxy关于直线2:330lxy对称的直线l的方程.直线对称特殊情况方法提炼：（1）一般的，求与直线0axbyc关于0xa对称的直线方程，先写成0(2)0aaxbyc的形式，再写成020axbyaac形式，即是所求值.（2）一般的，求与直线0axbyc关于0yb对称的直线方程，先写成0(2)0axbbyc的形式，再写020axbybbc成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线0axbyc关于原点对称的直线方程，只需把x换成x，把y换成y，化简后即为所求，即0axbyc.（4）一般地直（曲）线(,)0fxy关于直线yxc的对称直（曲）线为(,)0fycxc即把(,)0fxy中的x换成,ycy换成xc即可.（5）一般地直（曲）线(,)0fxy关于直线yxc的对称直（曲）线为(,)0fycxc.即把(,)0fxy中的x换成,ycy换成xc.注：１、直线的平移参照高一上函数图象的平移方法.（左右平移满足对“一个x”：“左加右减”，上下平移满足“一个y”：“上减下加”，还需注意加减的方向，位置）2、求直线方程可以沿用前面求函数解析式时的“参数法”，“相关点法或转移点法”求动点轨迹.３、直线的翻折参照直线关于直线对称.４、直线的旋转主要应用到角公式及夹角公式算出旋转后直线的斜率，再找个点即求解.