对称变换应用三例

对称变换应用三例湖北省安陆洑水初中王官清秦加强轴对称变换是研究一些几何证明和作图的重要方法。在实际生活中应用比较广泛，往往结合转化的思想、化归的思想把实际问题转化为几何问题，构建几何作图的模型，使问题得到解决，生动有趣。下面通过三个例题谈谈轴对称及轴对称变换的应用。一、猫捉老鼠，不是冤家不聚头例1在墙角O有一个老鼠洞，小猫咪咪在A处发现自己的冤家老鼠在B处正往洞口方向逃窜，咪咪想，这次再不让你跑掉。若小猫咪咪与老鼠的速度相同，你能确定小猫咪咪抓住老鼠的位置吗？分析：老鼠从B处沿墙边向洞口O逃窜，猫在老鼠逃窜的途中准确截击，截击点P应该在线段OB上。因为老鼠和小猫的速度相同，在时间相同的情况下，小猫和老鼠跑的路程相等，即PA=PB.所以截击老鼠的点P在AB的对称轴（垂直平分线）上，从而可以确定小猫咪咪抓住老鼠的位置。如图1-1，作点A、B的对称轴（就是线段AB的垂直平分线），交OB于P，点P就是小猫咪咪抓住老鼠的位置。二、台球桌上，该出手时就出手例2.如图2，在矩形ABCD的台球桌上有三个彩球E、F、P，且E、F、P在同一条直线上，现在要求主球P在不撞击其他彩球的情况下击中F（不能够跳过E击F），问能否击中F？若不能，请说明理由；若能击中F，请画出主球P的运动路线.分析：主球P撞击台球桌边反弹，和光线在平面镜上反射的规律相同。如图2-1，假设主球P射到边AD上的M，再反弹到球F，则点F关于AD的对称点和M、P在一条直线上。作法：作点F关于AD的对称点，连接P，交AD于M，连接MF。主球P的运动路线是P——M——F。当然，也可以作出点P关于AD的对称点，连接交AD于M。类似地，我们如果分别以BC、AB、DC为对称轴来作对称点，还可以在BC、AB、DC边上找到瞄准的点M来击球P，如图3-2，2-3，2-4.三、饮马牧马，敢问路在何方？处为马厩，B处为帐蓬，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐蓬.请你帮他确定这一天的最短路线。分析：假设牧马人先到草地边的P处牧马，然后去河边Q饮马，最后回到帐篷B，行走的路线就是A——P——Q——B，这是一条折线，不易考虑最短问题。把它们转化到一条直线上考虑，利用两点之间线段最短来考虑作图。转化的方法就是利用轴对称的性质作点A关于MN的对称点和作点B关于直线（河边）的对称点.作法：（1）关于MN的对称点和作点B关于直线（河边）的对称点.（2）连接，交MN于P，交于Q.则这一天牧马饮马的最短路线是A——P——Q——B.如图3-1.点评；利用轴对称变换作对称点，是我们研究“最短路线”的常用方法。有利于把折线转化到同一直线上研究。